\(4=\frac{x}{2}+y+\frac{x}{2}+z\ge\sqrt{2xy}+\sqrt{xz}\)

đặt căn 2xy là a,,,,,,căn 2xz là b ....Ta có \(a+b\le4\) và cần CM :\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4}{a+b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\Rightarrowđpcm\)

Câu hỏi của Lê Thanh Thưởng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

bài này dòng thứ 3 mình gõ nhầm nhé sửa thành "Từ x+y+z=4"

vào câu hỏi tương tự nha bạn

k tui nha

thanks

\(\frac{x+4}{2000}+\frac{x+3}{2001}=\frac{x+2}{2002}+\frac{x+1}{2003}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2004}{2000}+\frac{x+2004}{2001}=\frac{x+2004}{2002}+\frac{x+2004}{2003}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2004\right)\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}\right)\)

Dễ thấy: \(\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}\right)\ne0\Rightarrow x+2004=0\Leftrightarrow x=-2014\)

x = -2014

ti-ck nha

.........

\(\frac{x+1}{10}+\frac{x+1}{11}+\frac{x+1}{12}=\frac{x+1}{13}+\frac{x+1}{14}\)

\(\frac{x+1}{10}+\frac{x+1}{11}+\frac{x+1}{12}-\frac{x+1}{13}-\frac{x+1}{14}=0\)

\(\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x+1=0\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}\ne0\right)\)

\(x=-1\)

Vậy \(x=-1\)

nhìn số 82 = 9² + 1 mà nghĩ ra p²

Ta có :

\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)

tương tự : \(\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}.\left(y+\frac{9}{z}\right)\); \(\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}.\left(z+\frac{9}{x}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)

Chơi thêm một phát nữa cho phức tạp :D. Cách này em làm chơi thôi á! Dài dòng lắm!

Ta chứng minh BĐT phụ (hay còn gọi là Mincopxki): \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\) với a,b,c,d thuộc R.

Bình phương hai vế và khai triển ra hết:,ta có:\(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2\left(ac+bd\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(ac+bd\right)\)

Bình phương hai vế, BĐT tương đương với:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\). Nhân tung hết mấy cái ngoặc ra,ta cần c/m:

\(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2\ge2.ad.bc\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (BĐT đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\).

Áp dụng BĐT trên hai lần,ta có:

\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{81\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}-80\left(x+y+z\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{2\sqrt{81\left(x+y+z\right)^2.\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}-80.1^2}\) (Cô si hay AM-GM các kiểu -__-")

\(=\sqrt{2.81-80}=\sqrt{82}\left(Q.E.D\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) (anh/chị giải rõ ra nha :( máy em bị lag rồi)

Sửa lại đề : \(\frac{2x^2+3xy+y^2}{2x^3+x^2y-2xy^2-y^3}\)

Ta có : \(\frac{2x^2+3xy+y^2}{2x^3+x^2y-2xy^2-y^3}\)   \(=\) \(\frac{2x^2+3xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(2x^2+3xy+y^2\right)}\)

                                                          \(=\frac{1}{x-y}\)      ( Chia cả tử và mẫu cho \(2x^2+3xy+y^2\))