Từ điểm P ở ngoài đường tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến PA và PB . Qua B kẻ Bx song song với AP , nó cắt đường tròn tâm O ở C. Gọi D là giao điểm thứ hai của PC với đường tròn. Gọi E là giao điểm của BD và AP.
a, chứng minh tam giác PEB đồng dạng với tam giác DEP.
b, chứng minh PE = EA
từ điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ 2 tiếp tuyến PA vàc PB ( A và B là các tiếp điểm ) . QUa B vẽ tia Bx // AP . Nó cắt đường tròn tâm O tại điểm C . Gọi điểm D là giao điểm thứ 2 của PC với đường tròn tâm O . GỌI E là giao điểm của BD với AP
a) c/m \(\Delta PEB\infty\Delta DEP\)
b) C/m \(\Delta AED\infty\Delta BEA\)
c) \(PE=EA\)
a) Do BC // AP nên \(\widehat{EPD}=\widehat{DCB}\) (Hai góc so le trong)
mà \(\widehat{DCB}=\widehat{EBP}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)
nên \(\widehat{EPD}=\widehat{EPB}\)
Suy ra \(\Delta PED\sim\Delta BEP\left(g-g\right)\)
b) Ta thấy ngay \(\widehat{EAD}=\widehat{EBA}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
Suy ra \(\Delta AED\sim\Delta BEA\left(g-g\right)\)
c) Do \(\Delta PED\sim\Delta BEP\Rightarrow\frac{PE}{BE}=\frac{ED}{PE}\Rightarrow PE^2=ED.EB\)
\(\Delta AED\sim\Delta BEA\Rightarrow\frac{AE}{BE}=\frac{ED}{AE}\Rightarrow AE^2=BE.ED\)
Vậy nên AE = EP
từ điểm P ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến PA và PB. qua B kẻ Bx song song với PA cắt đường tròn (O) tại C. gọi E là giao điểm thứ hai của PC với (O) và I là giao điểm của BE với PA
a. chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp
b. chứng minh PA2=PE.PC
c. chứng minh IP=IA
â) Xét tứ giác PAOB , co :
\(\widehat{A}=90^o\) ( PA là tiếp tuyến )
\(\widehat{B}=90^o\)( PB là tiếp tuyến )
\(\widehat{A}+\widehat{B}=90^o+90^o=180^o\)
Vay : tứ giác PAOB nội tiếp ( vì có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o )
b) Xét \(\Delta PAEva\Delta PCA,co:\)
\(\widehat{P}\) là góc chung
\(\widehat{ACE}=\widehat{EAP}\) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung )
Do đó : \(\Delta PAE~\Delta PCA\)( g - g )
\(=>\frac{PA}{PE}=\frac{PC}{PA}\)
\(=>PA^2=PE.PC\)
c)
c, ta có góc APC=PCB (slt vì BC//PA)
mà góc PCB=PBE =1/2sđcungBE ( góc nội tiếp chắn cung BE và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung BE)
suy ra góc APC=PBE
xét hai tam giác PIE và BIP có
góc I chung
góc IBE=IBP(cmt)
suy ra hai tam giác đó đồng dạng
suy ra PI/BI=IE/PI
suy ra PI^2=BI*IE (1)
xét hai tam giác AIE và BIA có
góc I chung
góc IAE=ABI=1/2sđ cung AE ( góc nội tiếp chắn cung AE và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung AE)
suy ra hai tam giác đó đồng dạng
suy ra AI/BI=EI/AI
suy ra AI^2=BI*EI (2)
từ 1 và 2 suy ra PI=AI( đpcm)
Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến PA (A là tiếp điểm). Gọi B là trung điểm của PA, vẽ cát tuyến BCD với đường tròn. PC và PD giao với đường tròn lần lượt tại E và F. Chứng minh : AP // EF.
Xét ΔBAC và ΔBDA có
góc BAC=góc BDA
góc ABC chung
=>ΔBAC đồng dạng với ΔBDA
=>BA/BD=BC/BA
=>BA^2=BD*BC=PB^2
=>BP/BC=BD/BP
=>ΔBPD đồng dạng với ΔBCP
=>góc BPC=góc BDP
=>góc BPC=góc PEF
=>EF//AP
cho đường tròn tâm O và một điểm P ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến PA và PB (A,B tiếp điểm ). Từ A kẻ tia song song với PB cắt (O) tại C. Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là điểm D. Tia AD cắt PB tại E
a chứng minh tam giác EAB đồng dạng với tam giác EBD
b chứng minh Ae là trung tuyến của tam giác PAB
a: Xét ΔEAB và ΔEBD có
góc EAB=góc EBD
góc AEB chung
=>ΔEAB đồng dạng với ΔEBD
b: ΔEAB đồng dạng với ΔEBD
=>EB^2=EA*ED
Xét ΔEPD và ΔEAP có
góc EPD=góc EAP
góc PED chung
=>ΔEPD đồng dạng với ΔEAP
=>EP^2=ED*EA=EB^2
=>EP=EB
=>AE là trung tuyến của ΔPAB
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy C thuộc đường tròn tâm O. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt BC tại D. Gọi M là trung điểm của AD.
a) CM: MC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
b) CM: MO vuông góc với AC tại trung điểm I của AC
Bài 2: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ 2 tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC giao AH tại trung điểm I của AH
Từ điểm P ở bên ngoài đường tròn (O) ,vẽ tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn ( A và B là 2 tiếp điểm ).Qua P kẻ tia Bx//PA cắt đường tròn ( O ) tại C.Gọi E là giao điểm của PC với đường tròn ( O ).Và F là giao điểm của BE với PA.Chứng minh: a)AF2=FE.FB b)F là trung điểm của AP c)AE.BC=AC.PE d)AE.BC+AC.BE=AB.EC
Từ điểm P ở bên ngoài đường tròn(0),vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn .Qua B vẽ Bx// PA cắt đường tròn tại C.Gọi E là giao điểm của PC với (o) ;F là giao điểm của BE và PA.C/m :
F là t/đ của AP
AE.BC+AC.BE=AB.EC
