Xét tứ giác \(AIDK\): 

\(AI//DK,AK//DI\)

Suy ra \(AIDK\)là hình bình hành. 

mà \(AD\)là phân giác trong của góc \(\widehat{IAK}\)nên \(AIDK\)là hình thoi .

Suy ra \(DK=DI\)

do đó tam giác \(IDK\)là tam giác cân. 

Xét tư giác AEDF có

DF//AE; DE//AF => AEDF là hình bình hành

Gọi O là giao của AD và EF => IA=ID và IE=IF

Xét tg AEFF có

IE=IF => AI là đường trung tuyến của tg AEF

mà AI là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=> tg AEF cân tại A (tg có đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tg đó là tg cân) \(\Rightarrow AD\perp EF\) (trong tg cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

=> AEDF là hình thoi (Hình bh có hai đường chéo vuông góc nhau là hình thoi

=> EA=ED

Xét tg AEI và tg DEI có

EA=ED

IA=ID

EI chung 

=> tg AEI=tgDEI (c.c.c) \(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{DEF}\) => EF là phân giác của \(\widehat{AED}\)

Gọi Bx là tia đối của tia BA. Lấy E trên AC sao cho AB = AE

Xét tam giác BAD=EAD c-g-c => BD = DE và DEC = CBx 

Trong tam giác ABC, BAC + ABC + ACB = 180 => ACB = 180 - BAC - ABC => ACB < 180 - ABC

Ta có DBx + ABC = 180 (hai góc kề bù) => DBx = 180 - ABC

=>ACB < DBx => ACB < DEC => Trong tam giác DEC, DC > DE (Quan hệ giữa góc và cạnh)

Vậy BD < DC

b) Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\)(cmt)

nên \(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DC}{BD}\)(1)

Xét ΔABC có 

D\(\in\)BC(gt)

E\(\in\)AC(gt)

DE//AB(gt)

Do đó: \(\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{CD}{DB}\)(Định lí Ta lét)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{EC}{AE}\)

hay \(AC\cdot AE=AB\cdot EC\)(đpcm)

a) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{6}=\dfrac{10}{8}\)

hay AB=7,5(cm)

Vậy: AB=7,5cm