gọi Ex là tia đối của tiếp tuyến EA

Ta có : \(\widehat{xED}=\frac{1}{2}sđ\widebat{ED}\); \(\widehat{EFD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{ED}\)\(\Rightarrow\widehat{xED}=\widehat{EFD}\)( 1 )

Dễ thấy tứ giác AFOE nội tiếp

I là trung điểm của BC nên OI \(\perp\)BC \(\Rightarrow\)tứ giác AIOE nội tiếp

\(\Rightarrow\)5 điểm A,F,I,O,E cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\)tứ giác AFIE nội tiếp \(\Rightarrow\)\(\widehat{EAI}=\widehat{EFI}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(\widehat{xED}=\widehat{EAI}\Rightarrow ED//AC\)

Gọi N là giao điểm của AO và EF

Dễ chứng minh AN \(\perp\)EF

\(\DeltaẠNH~\Delta AIO\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AN}{AH}=\frac{AI}{AO}\Rightarrow AI.AH=AN.AO\)( 3 )

Ta có : \(AE^2=AN.AO\)( 4 )

Xét \(\Delta AEB\)và \(\Delta ACE\)có :

\(\widehat{EAC}\)( chung ) ; \(\widehat{AEB}=\widehat{ACE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EB}\)

\(\Rightarrow\Delta AEB~\Delta ACE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AE^2=AB.AC\)( 5 )

Từ ( 3 ) , ( 4 ) và ( 5 ) suy ra : AH.AI = AB.AC

đề bạn cho thiếu nhé. đoạn cuối AH. AI = AB . AC với H là giao điểm của AC và EF

Mượn tạm hình anh Thanh Tùng DZ tý :)) Không biết cách làm của em có khác gì của anh không,anh check giúp em ạ :D

Ta có ED // AC ( theo chứng minh của anh Tùng )

Xét phương tích điểm A với ( O ) ta có:\(AB.AC=AF^2\)

Ta cần chứng minh \(AH.AI=AF^2\)

Ta có:\(\widehat{AFH}=\widehat{FDE}=\widehat{FIA}\)

Khi đó \(\Delta\)AFH ~ \(\Delta\)AIF ( g.g ) nên \(AH.AI=AF^2\)

=> ĐPCM

a) Vì tam giác AFB đồng dạng với ACF(g.g) nên: 
AF/AC=AB/AF hay AF^2=AB.AC => AF=căn(AB.AC) ko đổi 

Mà AE=AF (T/cTtuyen) nên E, F cùng thuộc đường tròn bán kính căn(AB.AC) 
b)Ta có: OI vuông góc với BC (T/ đường kính và dây) 
Các điểm E, F, I cùng nhìn OA dưới 1 góc ko đổi 90 độ nên O,I,F,A,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA 
Ta có góc FIA=FOA(Cùng chắn cung FA trong đường tròn (OIFAE) 
Mà góc FKE=FOA( Cùng bằng \(\frac{1}{2}\) góc FOE) 
Suy ra góc FIA=FKE, nhưng hai góc này lại ở vị trí SLT nên KE//AB 

Dễ chứng minh \(\Delta AEB\Delta ACE\left(g.g\right)\)

b ) Cm tứ giác \(OEAI\) và \(AEOF\) nt

Dễ thấy : \(\widehat{AEO}=\widehat{AIO}=90^o\)

\(\Rightarrow\) tứ giác OEAI nt đường tròn đường kính OA (1)

Lại có : \(\widehat{AEO}=\widehat{AFO}=90^o\)

\(\Rightarrow\) tứ giác AEOF nt đường tròn đường kính OA (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) đpcm

+ ) CM : ED//AC

Có : \(\widehat{xED}=\widehat{EFD}\left(=\frac{1}{2}sđcungED\right)\)

Mà 5 diểm A , E, O , I , F cùng thuộc 1 đường tròn 

\(\Rightarrow\widehat{EFD}=\widehat{EAI}\left(=\frac{1}{2}sđEI\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{xED}=\widehat{EAI}\)

\(\Rightarrow\) DE//AC

Chúc bạn học tốt !!!

2 tam giác HIE và HFA đồng dạng do có góc tại đỉnh H bằng nhau và góc HIE = góc FA (cùng chắn cung A của Q) => HI / HF = HE / HA => HI*HA = HE*HF ♦ 
2 ∆ HEB và HCF đồng dạng do có góc tại đỉnh H bằng nhau và góc HEB = góc HCF (cùng chắn cung BF của O) => HE / HC = HB / HF => HB*HC = HE*HF ♥ 
(Nếu bạn đã học phương tích của điểm đối với đường tròn thì có ngay ♦ và ♥ không cần cm vì ♦ chính là pt của H đối với Q còn ♥ là pt của H đối với O) 
♦, ♥ => HI*HA = HB*HC => HI*(AI - HI) = (x - HI)(x + HI) => HI*AI = x² 
=> HI = x² / AI = hằng số (A, I cố định nên AI không đổi) 
=> H cố định. 
Dễ thấy OIHK nội tiếp đường tròn (P) => đường tròn ngoại tiếp ∆ IOK chính là (P). Tâm đường tròn (P) dĩ nhiên nằm trên trung trực k của HI mà trung trực này cố định do H, I cố định. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc k cố định

có người làm rồi kìa

có thể tìm hiểu link này xD
https://tuhoc365.vn/qa/bat-ky-di-qua-b-va-c-bc-2r-tu-a-ke-cac-tiep-tuyen-am-an-voi-duo/

Gọi I là giao điểm của MN và AC.

Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.

\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)

Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE 

\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)

Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM

\(\Rightarrow\)AM² = AH.AO (2)

Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC

\(\Rightarrow\)AM² = AB.AC (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC

Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)

Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.

PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.

bạn cho mình hỏi tại sao tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC vậy?. Mình ko hiểu chỗ đó

Ta có:

\(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\)(là góc chung)

\(\widehat{BMA}=\widehat{ACM}\) (Do AM là tiếp tuyến tại M của (O) và 2 góc đó cùng chắn cung MB)

\(\Rightarrow\Delta ABM\approx\Delta AMC\)