B1:a²+b²+c²=ab+bc+ac tương đương 2(a²+b²+c²) - 2(ab+bc+ac) =0

suy ra 2a² +2b² +2c² -2ab-2bc-2ac=0

suy ra (a² -2ab+b²) +(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0

suy ra (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0    suy ra  (a-b)²=0 tương đương a-b=0 suy ra a=b  (1)

                                                        (b-c)²=0  tương đương b-c=0 suy ra b=c   (2)

                                                         (a-c)² =0 tương đương a-c=0 suy ra b=c    (3)

từ (1);(2);(3)suy ra a=b=c.Mà a=b=c=9 suy ra a=b=c=3(đpcm)

bai 1 : ve trai : a²  + b²  + c²  = a.a + b.b + c.c = (a.b) + (b.c) +(c.a) = ab + bc +ca = ve phai

ma a+b+c=9 suy ra : 3+3+3=9 suy ra a ;b;c deu bang 3 

vi ve trai = ve phai ma a ;b ;c =3 vay dang thuc duoc chung minh

mình cũng ko biết làm. giải giùm với

Đặt:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ck\\c=bk\\a=bk^2\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{bk^2}{b}=k^2\)

\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{ck^2+bk^2}{b^2+c^2}=\dfrac{k^2\left(c^2+b^2\right)}{b^2+c^2}=k^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Tương tự

áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b^2}{c^2}}=2\frac{a}{c}\)

\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\)

\(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2\frac{c}{b}\)

cộng vế theo vế 

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)

dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{a^2}\Leftrightarrow a=b=c\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 2: 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$2=(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$

$(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b})^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)$

$=2+a+b\leq 2+\sqrt{2}$

$\Rightarrow a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

1)a + b + c = 0 
<=> (a + b + c)² = 0 
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1) 

CẦn chứng minh: 

2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)² 

<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) ) 

<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1)) 

<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0 

<=> 8abc.(a + b + c) = 0 

<=> 0 = 0 (đúng), Vì a + b + c = 0 

=> Đpcm

2Quy đồng hết lên là ra thui :) . Đặt thế này cho dễ : x = a/b , y = b/c , z = c/a => xyz = 1 

BĐT cần Cm <=> x² + y² + z² ≥ 1/x + 1/y + 1/z 

<=> x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx ( BĐT quen thuộc đây mà ) 

<=> 2(x² + y² + z² ) - 2(xy + yz + zx) ≥ 0 

<=> (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² ≥ 0 ( Luon dung ) => DPCM 

Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c 

Vậy a²/b² + b²/c² + c²/a² ≥ c/b + b/a + a/c . Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c 

- - - - - - - - - - - - -- - - - - -