Ta có: \(\frac{1}{2^3}< \frac{1}{1.2.3}\)

           \(\frac{1}{3^3}< \frac{1}{2.3.4}\)

           ....

            \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)

Ta có : 

\(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)

\(N=\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

Ta thấy : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

.......

\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< 1.\frac{1}{2^2}\)

\(\Rightarrow N< \frac{1}{4}\)(ĐPCM)

Ủng hộ mk nha !!! ^_^

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

Cách lớp 7 nà:)

\(\frac{1}{n.\left(n+1\right)^2}=\frac{1}{n.\left(n+1\right).\left(n+1\right)}< \frac{1}{n.n\left(n+1\right)}< \frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) (n>=2_

\(\text{Suy ra }VT< \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

Mặt khác ta có công thức \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]}{2}\) (n>= 2)

Suy ra \(VT< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)< \frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\left(\text{do }\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\right)\)

Vậy ta có đpcm

Gắt chưa??? :>> Dương Bá Gia Bảo

mk làm đc rồi nha

a) \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)(@@)

+) Với n = 1 ta có: \(1.2=\frac{1.\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}\) đúng

=> (@@) đúng với n = 1 

+) G/s (@@) đúng cho đến n 

+) Ta chứng minh (@@ ) đúng với n + 1 

Ta có: \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)

=>  (@@) đúng với n + 1

Vậy (@@ ) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0

b) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\) (@)

Ta chứng minh (@) đúng  với n là số tự nhiên khác 0 quy nạp theo n 

+) Với n = 1 ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}\) đúng 

=> (@) đúng với n = 1 

+) G/s (@) đúng cho đến n 

+) Ta cần chứng minh (@) đúng với n + 1 

Ta có: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^n-1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-2+1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)

=> (@) đúng với n + 1 

Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.

c) Ta chứng minh 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2.\left(n+1\right)^2}{4}\)(@)  đúng với mọi số tự nhiên n khác 0 

+) Với n = 1 ta có: \(1^3=\frac{1^2\left(1+1\right)^2}{4}\)đúng 

=> (@) đúng với n = 1 

+) G/s n(@) đúng cho đến n 

+) Ta chứng minh (@) với n + 1 

Thật vậy: 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3+\left(n+1\right)^3=\frac{n^2.\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3\)

\(=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}\)

=> (@) đúng với n + 1 

Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.

Khó dữ vậy!!!!

Đợi tí , mạng chậm

Có : \(3A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}\)

\(3A-A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow2A< 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}\)

Có: \(6A< 3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\)

\(6A-2A< 3-\frac{1}{3^{99}}< 3\)

\(\Rightarrow4A< 3\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)(đpcm)

Tham khảo nè:

1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2 < 2/3 chứng minh

 k² > k² - 1 = (k-1)(k+1) 
⇒ 1/k² < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*) 

Áp dụng (*), ta có: 
1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² 
< 1/2² + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)] 
= 1/2² + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2 
= 1/2² + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2 
= 2/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 2/3