Suy ra:  ∆ ABD = ∆ CBM (c.g.c)

a: Xét (O) có

\(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=60^0\)

Xét ΔMBD có MB=MD

nên ΔMBD cân tại M

Xét ΔMBD cân tại M có \(\widehat{DMB}=60^0\)

nên ΔMBD đều

b: ΔBMD đều

=>\(\widehat{BDM}=60^0\)

\(\widehat{BDA}+\widehat{BDM}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{BDA}=180^0-60^0=120^0\)

Xét (O) có A,B,M,C cùng thuộc (O)

nên ABMC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BMC}+\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-60^0=120^0\)

=>\(\widehat{BMC}=\widehat{BDA}\left(=120^0\right)\left(4\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(\widehat{BCM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

Do đó: \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\)

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{MCB}\left(3\right)\)

Xét ΔBAD có \(\widehat{BAD}+\widehat{BDA}+\widehat{ABD}=180^0\)

=>\(\widehat{ABD}=180^0-\widehat{BAD}-\widehat{BDA}\)(1)

Xét ΔBMC có \(\widehat{BMC}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=180^0\)

=>\(\widehat{MBC}=180^0-\widehat{BMC}-\widehat{MCB}\left(2\right)\)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\)

Xét ΔBDA và ΔBMC có

BA=BC

\(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\)

BD=BM

Do đó: ΔBDA=ΔBMC

=>AD=MC

AM=AD+DM

mà AD=MC và DM=MB

nên AM=BM+CM

a ) Ta có BM=MD (gt)

=> \(\Delta\)MBD cân tại M

Mặt khác \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) ( Hai góc nội tiếp chắn cung AB)

Mà \(\widehat{ACB}=60^0\)( tam giác ABC đều)

Suy ra \(\widehat{AMB}=60^0hay\widehat{DMB}=60^0\)

Vậy \(\Delta MBD\) đều

b) Ta có \(\Delta MBD\) đều ( CMT)

Suy ra : \(\widehat{DMB}=\widehat{DBC}+\widehat{CBM}=60^0\)(1)

Lại có : tam giác ABC đều (gt)

Suy ra : \(\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=60^0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\)

Xét hai tam giác ABD và CBM ta có

BC=BA (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)

BD=BM( tam giác MBD đều)

=> \(\Delta ABD=\Delta CBM\left(c.g.c\right)\)

c)\(\Delta ABD=\Delta CBM\left(cmt\right)\)

SUy ra AD=CM

mà AM=AD+DM

SUy ra MA=MC+MD

a/ Xét \(\Delta BMD\)ta có:

\(MD=MB\left(gt\right)\)=> \(\Delta BMD\)cân tại M

Mà \(B\widehat{M}D=A\widehat{C}B=60^0\)( 2 góc n.t chắn cung AB)

Nên \(\Delta BMD\)đều

b/ Ta có \(\hept{\begin{cases}A\widehat{B}D+D\widehat{B}C=A\widehat{B}C\\D\widehat{B}C+M\widehat{B}C=D\widehat{B}M\\A\widehat{B}C=D\widehat{B}M\left(=60^0\right)\end{cases}}\)

=> \(A\widehat{B}D=M\widehat{B}C\)

Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta MBC\)ta có :

\(\hept{\begin{cases}BD=BM\left(\Delta MBDđều\right)\\BA=BC\left(\Delta ABCđều\right)\\A\widehat{B}D=M\widehat{B}C\left(cmt\right)\end{cases}}\)

=> \(\Delta ADB=\Delta CMB\)(c-g-c)

=>\(AD=MC\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}AM=AD+MD\\MD=MB\left(\Delta MBDđều\right)\\AD=MC\left(cmt\right)\end{cases}}\)

=>\(AM=MB+MC\)

c/

Ta có: \(AB=AC\)<=>\(\widebat{AB}=\widebat{AC}\)

Xét \(\Delta MAB\)và\(\Delta MHC\)ta có:

\(B\widehat{A}M=H\widehat{C}M\)(2 góc n.t chắn cung MB )

\(A\widehat{M}B=H\widehat{M}C\)(2 góc n.t chắn 2 cung = nhau )

=>\(\Delta MAB\)đồng dạng\(\Delta MCH\)

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MH}\)=>\(\frac{MA}{MB.MC}=\frac{1}{MH}\)=>\(\frac{MB+MC}{MB.MC}=\frac{1}{MH}\)=>\(\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}=\frac{1}{MH}\left(đpcm\right)\)

cho mihf hỏi tam giác gì nội tiếp đường tròn O vậy

mình nghĩ đề cho bổ sung là cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( O ) vì mình đã từng làm rồi

lời giải :

a) vì MD = MB nên \(\Delta MBD\)cân tại M

\(\widehat{BMD}=\widehat{BCA}=60^o\)( cùng chắn cung AB )

\(\Rightarrow\)\(\Delta MBD\)đều

b) Xét \(\Delta MBC\)và \(\Delta BDA\)có :

MB = BD ; BC = AB ; \(\widehat{MBC}=\widehat{DBA}\)( cùng cộng góc DBC bằng 60 độ )

\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta DBA\left(c.g.c\right)\)suy ra MC = AD

c) Mà MB = MD ( câu a )

nên MC + MB = MD + AD = MA

d) Ta có : MA là dây cung của ( O ; R ) \(\Rightarrow MA\le2R\)

\(\Rightarrow MB+MC+MA=2MA\le4R\)( không đổi )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung BC