Ta kiểm tra 1 vài giá trị nhỏ. Gọi A là người đi trước và B là người đi sau. Vị trí người đi trước luôn thắng ta gọi là W, vị trí người đi trước luôn thua gọi là L (viết tắt là thắng thua thì T-T ko phân biệt được, viết tắt là T-B thắng bại thì chữ B lại trùng với người B)

1 viên bi: A hiển nhiên thắng (W)

2 viên bi: A buộc phải lấy 1 viên. B lấy nốt viên còn lại nên A thua (L)

3 viên: A hiển nhiên lấy hết cả 3 viên nên thắng (W)

4 viên: tương tự, A thắng (W)

5 viên: A lấy 3 viên, đặt B vào trường hợp 2, do đó A thắng (W)

6 viên: A lấy 4 viên và thắng (W)

7 viên: nếu A lấy 1 viên, B sẽ lấy 4 viên và đặt A vào trường hợp 2 nên A thua, nếu A lấy 3 hoặc 4 viên, B sẽ lấy hết số còn lại, A vẫn thua. Do đó, trong trường hợp này A luôn thua (L)

8 viên: A hiển nhiên sẽ lấy 1 viên và đặt B vào trường hợp 7, A thắng (W)

9 viên: dù A lấy 1, 3 hay 4 viên thì B sẽ đều rơi vào các trường hợp thắng 8, 6, 5. Do đó A luôn thua (L)

10 viên: A chắc chắn lấy 1 hoặc 3 viên để đẩy B vào trường hợp thua 9 hoặc 7. A luôn thắng (W)

Nhận thấy từ trường hợp 7 trở đi, nếu số bi là lẻ thì người đi trước sẽ luôn thua cuộc và số bi là chẵn thì người đi trước luôn thắng cuộc (do trong 2 lượt đi liên tiếp, người đi sau luôn chắc chắn có cách bốc để tổng số bi qua 2 lượt là 1 số chẵn, qua đó đảm bảo tính chẵn lẻ của số bi còn dư trên bàn) (1)

Vậy Phước sẽ luôn là người thắng trong trò chơi này. Cách chơi như sau: giả sử tổng số bi là chẵn và đủ lớn (\(\ge14\) , là tổng của trường hợp L=7 và tổng 2 số bi khác tính chẵn lẻ lớn nhất là 3+4)

- Nếu lượt đầu, Cẩn lấy 1 hoặc 3 viên \(\Rightarrow\) số bi còn lại là lẻ. Đến lượt Phước, Phước lấy 4 viên. Khi đó Cẩn phái khởi đầu lượt chơi tiếp theo với tổng số bi trên bàn là lẻ. Như vậy Phước chỉ cần tuân thủ chiến thuật ở (1) là chắc thắng

- Nếu lượt đầu, Cẩn lấy 4 viên => Phước sẽ lấy 1 hoặc 3 viên. Cẩn tiếp tục bị đẩy vào thế chắc chắn thua.

Để tìm chiến thuật chơi để An là người thắng cuộc, ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra.

Trong trường hợp này, số viên kẹo trong hai túi là 18 và 21. Ta có thể tạo bảng để phân tích các trường hợp:

| Lượt chơi | Túi 1 (18 viên) | Túi 2 (21 viên) |
|-----------|----------------|----------------|
| 1         | 17             | 20             |
| 2         | 16             | 19             |
| 3         | 15             | 18             |
| 4         | 14             | 17             |
| 5         | 13             | 16             |
| 6         | 12             | 15             |
| 7         | 11             | 14             |
| 8         | 10             | 13             |
| 9         | 9              | 12             |
| 10        | 8              | 11             |
| 11        | 7              | 10             |
| 12        | 6              | 9              |
| 13        | 5              | 8              |
| 14        | 4              | 7              |
| 15        | 3              | 6              |
| 16        | 2              | 5              |
| 17        | 1              | 4              |
| 18        | 0              | 3              |

Dựa vào bảng trên, ta nhận thấy rằng nếu An chơi một cách thông minh, an sẽ luôn giữ số viên kẹo trong hai túi ở cùng một mức. Điều này đảm bảo rằng Bình sẽ không thể lấy hết kẹo từ một túi nào đó và An sẽ luôn có cơ hội lấy kẹo từ túi còn lại.

Vì vậy, chiến thuật chơi của An là giữ số viên kẹo trong hai túi ở cùng mức. Khi Bình lấy đi một viên kẹo từ một túi, An sẽ lấy đi một viên kẹo từ túi còn lại để duy trì số viên kẹo ở cùng mức.

Với chiến thuật này, An sẽ luôn là người thắng cuộc vì An có thể điều khiển trò chơi sao cho Bình không thể lấy hết kẹo từ một túi nào đó.

Hướng dẫn giải:

Ta giải bài toán bằng cách đi ngược từ dưới lên. Vì tổng số kẹo là 25 nên nếu cuối cùng một người bốc được số lẻ viên kẹo sẽ thua, do người kia sẽ bốc được một số chẵn viên kẹo.

Ta ký hiệu mỗi trạng thái đến lượt An hay Bình đi bằng hai tham số (CL, k), trong đó CL là tính chẵn lẻ của số kẹo mà người chơi đang có, k là số kẹo còn lại trên bàn. Ta viết f(CL, k) = 1 nếu người đi có chiến thuật thắng từ trạng thái này. Trong trường hợp ngược lại f(CL, k) = 0. Mục đích của chúng ta là cần tính F(C, 25). Nếu giá trị này bằng 1 thì An thắng, ngược lại nếu giá trị này bằng 0 thì Bình thắng.

Ví dụ f(C, 1) = 0 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và bắt buộc phải bốc viên kẹo cuối cùng, kết thúc cuộc chơi. f(C, 2) = 1 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và có thể bốc 2 viên kẹo cuối cùng để giành chiến thắng. Cũng như vậy f(C, 3) = 1 (bốc 2). Tương tự như thế thì f(L, 1) = 1 (bốc 1), F(L, 2) = 1 (bốc 1), F(L, 3) = 1 (bốc 3).

Để tính f(C, 4) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số lẻ viên kẹo. Nếu ta bốc 1, 2 hoặc 3 viên thì sẽ đưa đối thủ đến các trạng thái (L, 3), (L, 2), (L, 1) tương ứng, và đều là các trạng thái thắng của đối thủ. Suy ra f(C, 4) = 0. Với f(L, 4) ta bốc 3 viên, đưa đối thủ vào trạng thái thua (C, 1) và giành chiến thắng.

Tiếp tục, để tính f(C, 5) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số chẵn viên kẹo. Do đó ta bốc 1 viên và đưa đối thủ vào trạng thái (C, 4) là trạng thái thua, như vậy f(C,5) = 1. Ngược lại từ (L, 5) ta chỉ có thể đưa về (L, 4), (L, 3), (L, 2) là các trạng thái thắng, suy ra f(L, 5) = 0.

Nói tóm lại, một trạng thái là thua nếu mọi cách đi đều đưa về trạng tháng thắng (cho đối thủ), một trạng thái là thắng nếu có một cách đi đưa về trạng thái thua (cho đối thủ). Bằng lý luận này, ta lập được bảng giá trị sau.

Như vậy f(C, 25) = 0, tức là Bình có chiến thuật thắng.

(Đây là bài toán khá khó trong lý thuyết thuật toán và trò chơi).

Ta giải bài toán bằng cách đi ngược từ dưới lên. Vì tổng số kẹo là 25 nên nếu cuối cùng một người bốc được số lẻ viên kẹo sẽ thua, do người kia sẽ bốc được một số chẵn viên kẹo.

Ta ký hiệu mỗi trạng thái đến lượt An hay Bình đi bằng hai tham số (CL, k), trong đó CL là tính chẵn lẻ của số kẹo mà người chơi đang có, k là số kẹo còn lại trên bàn. Ta viết f(CL, k) = 1 nếu người đi có chiến thuật thắng từ trạng thái này. Trong trường hợp ngược lại f(CL, k) = 0. Mục đích của chúng ta là cần tính F(C, 25). Nếu giá trị này bằng 1 thì An thắng, ngược lại nếu giá trị này bằng 0 thì Bình thắng.

Ví dụ f(C, 1) = 0 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và bắt buộc phải bốc viên kẹo cuối cùng, kết thúc cuộc chơi. f(C, 2) = 1 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và có thể bốc 2 viên kẹo cuối cùng để giành chiến thắng. Cũng như vậy f(C, 3) = 1 (bốc 2). Tương tự như thế thì f(L, 1) = 1 (bốc 1), F(L, 2) = 1 (bốc 1), F(L, 3) = 1 (bốc 3).

Để tính f(C, 4) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số lẻ viên kẹo. Nếu ta bốc 1, 2 hoặc 3 viên thì sẽ đưa đối thủ đến các trạng thái (L, 3), (L, 2), (L, 1) tương ứng, và đều là các trạng thái thắng của đối thủ. Suy ra f(C, 4) = 0. Với f(L, 4) ta bốc 3 viên, đưa đối thủ vào trạng thái thua (C, 1) và giành chiến thắng.

Tiếp tục, để tính f(C, 5) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số chẵn viên kẹo. Do đó ta bốc 1 viên và đưa đối thủ vào trạng thái (C, 4) là trạng thái thua, như vậy f(C,5) = 1. Ngược lại từ (L, 5) ta chỉ có thể đưa về (L, 4), (L, 3), (L, 2) là các trạng thái thắng, suy ra f(L, 5) = 0.

Nói tóm lại, một trạng thái là thua nếu mọi cách đi đều đưa về trạng tháng thắng (cho đối thủ), một trạng thái là thắng nếu có một cách đi đưa về trạng thái thua (cho đối thủ). Bằng lý luận này, ta lập được bảng giá trị sau.

Như vậy f(C, 25) = 0, tức là Bình có chiến thuật thắng.

(Đây là bài toán khá khó trong lý thuyết thuật toán và trò chơi).

Ta giải bài toán bằng cách đi ngược từ dưới lên. Vì tổng số kẹo là 25 nên nếu cuối cùng một người bốc được số lẻ viên kẹo sẽ thua, do người kia sẽ bốc được một số chẵn viên kẹo.

Ta ký hiệu mỗi trạng thái đến lượt An hay Bình đi bằng hai tham số (CL, k), trong đó CL là tính chẵn lẻ của số kẹo mà người chơi đang có, k là số kẹo còn lại trên bàn. Ta viết f(CL, k) = 1 nếu người đi có chiến thuật thắng từ trạng thái này. Trong trường hợp ngược lại f(CL, k) = 0. Mục đích của chúng ta là cần tính F(C, 25). Nếu giá trị này bằng 1 thì An thắng, ngược lại nếu giá trị này bằng 0 thì Bình thắng.

Ví dụ f(C, 1) = 0 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và bắt buộc phải bốc viên kẹo cuối cùng, kết thúc cuộc chơi. f(C, 2) = 1 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và có thể bốc 2 viên kẹo cuối cùng để giành chiến thắng. Cũng như vậy f(C, 3) = 1 (bốc 2). Tương tự như thế thì f(L, 1) = 1 (bốc 1), F(L, 2) = 1 (bốc 1), F(L, 3) = 1 (bốc 3).

Để tính f(C, 4) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số lẻ viên kẹo. Nếu ta bốc 1, 2 hoặc 3 viên thì sẽ đưa đối thủ đến các trạng thái (L, 3), (L, 2), (L, 1) tương ứng, và đều là các trạng thái thắng của đối thủ. Suy ra f(C, 4) = 0. Với f(L, 4) ta bốc 3 viên, đưa đối thủ vào trạng thái thua (C, 1) và giành chiến thắng.

Tiếp tục, để tính f(C, 5) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số chẵn viên kẹo. Do đó ta bốc 1 viên và đưa đối thủ vào trạng thái (C, 4) là trạng thái thua, như vậy f(C,5) = 1. Ngược lại từ (L, 5) ta chỉ có thể đưa về (L, 4), (L, 3), (L, 2) là các trạng thái thắng, suy ra f(L, 5) = 0.

Nói tóm lại, một trạng thái là thua nếu mọi cách đi đều đưa về trạng tháng thắng (cho đối thủ), một trạng thái là thắng nếu có một cách đi đưa về trạng thái thua (cho đối thủ). Bằng lý luận này, ta lập được bảng giá trị sau.

Như vậy f(C, 25) = 0, tức là Bình có chiến thuật thắng.

Đáp án B

Đáp án B

Bình có 2 khả năng thắng cuộc:

+) Thắng cuộc sau lần quay thứ nhất. Nếu Bình quay vào một trong 5 nấc: 80, 85, 90, 95, 100 thì sẽ thắng nên xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là P 1   =   5 20   =   1 4  

+) Thắng cuộc sau 2 lần quay. Nếu Bình quay lần 1 vào một trong 15 nấc: 5, 10, ..., 75 thì sẽ phải quay thêm lần thứ 2. Ứng với mỗi nấc quay trong lần thứ nhất, Bình cũng có 5 nấc để thắng cuộc trong lần quay thứ 2, vì thế xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là P 2   =   15   ×   5 20   ×   20   =   3 16  

Từ đó, xác suất thắng cuộc của Bình là

Đáp án B

Bình có 2 khả năng thắng cuộc:

+) Thắng cuộc sau lần quay thứ nhất. Nếu Bình quay vào một trong 5 nấc: 80, 85, 90, 95, 100 thì sẽ thắng nên xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là P 1 = 5 20 = 1 4  

+) Thắng cuộc sau 2 lần quay. Nếu Bình quay lần 1 vào một trong 15 nấc: 5, 10, ..., 75 thì sẽ phải quay thêm lần thứ 2. Ứng với mỗi nấc quay trong lần thứ nhất, Bình cũng có 5 nấc để thắng cuộc trong lần quay thứ 2, vì thế xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là P 2 = 15 × 5 20 × 20 = 3 16  

Từ đó, xác suất thắng cuộc của Bình là

P = P 1 + P 2 = 1 4 + 3 16 = 7 16