Trên bàn có n viên bi .Cẩn và phước cùng chơi 1 trò chơi luân phiên theo lượt (Cẩn chơi trước ) như sau .Ở lượt chơi của mình,người chơi sẽ lấy ra khỏi bàn 1,3 hoặc 4 viên bi .Người chơi đầu tiên không thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc .Hãy xác định người chơi có chiến thuật thắng trong mỗi trường hợp sau:
a) n=14 b) n=2022
Ta kiểm tra 1 vài giá trị nhỏ. Gọi A là người đi trước và B là người đi sau. Vị trí người đi trước luôn thắng ta gọi là W, vị trí người đi trước luôn thua gọi là L (viết tắt là thắng thua thì T-T ko phân biệt được, viết tắt là T-B thắng bại thì chữ B lại trùng với người B)
1 viên bi: A hiển nhiên thắng (W)
2 viên bi: A buộc phải lấy 1 viên. B lấy nốt viên còn lại nên A thua (L)
3 viên: A hiển nhiên lấy hết cả 3 viên nên thắng (W)
4 viên: tương tự, A thắng (W)
5 viên: A lấy 3 viên, đặt B vào trường hợp 2, do đó A thắng (W)
6 viên: A lấy 4 viên và thắng (W)
7 viên: nếu A lấy 1 viên, B sẽ lấy 4 viên và đặt A vào trường hợp 2 nên A thua, nếu A lấy 3 hoặc 4 viên, B sẽ lấy hết số còn lại, A vẫn thua. Do đó, trong trường hợp này A luôn thua (L)
8 viên: A hiển nhiên sẽ lấy 1 viên và đặt B vào trường hợp 7, A thắng (W)
9 viên: dù A lấy 1, 3 hay 4 viên thì B sẽ đều rơi vào các trường hợp thắng 8, 6, 5. Do đó A luôn thua (L)
10 viên: A chắc chắn lấy 1 hoặc 3 viên để đẩy B vào trường hợp thua 9 hoặc 7. A luôn thắng (W)
Nhận thấy từ trường hợp 7 trở đi, nếu số bi là lẻ thì người đi trước sẽ luôn thua cuộc và số bi là chẵn thì người đi trước luôn thắng cuộc (do trong 2 lượt đi liên tiếp, người đi sau luôn chắc chắn có cách bốc để tổng số bi qua 2 lượt là 1 số chẵn, qua đó đảm bảo tính chẵn lẻ của số bi còn dư trên bàn) (1)
Vậy Phước sẽ luôn là người thắng trong trò chơi này. Cách chơi như sau: giả sử tổng số bi là chẵn và đủ lớn (\(\ge14\) , là tổng của trường hợp L=7 và tổng 2 số bi khác tính chẵn lẻ lớn nhất là 3+4)
- Nếu lượt đầu, Cẩn lấy 1 hoặc 3 viên \(\Rightarrow\) số bi còn lại là lẻ. Đến lượt Phước, Phước lấy 4 viên. Khi đó Cẩn phái khởi đầu lượt chơi tiếp theo với tổng số bi trên bàn là lẻ. Như vậy Phước chỉ cần tuân thủ chiến thuật ở (1) là chắc thắng
- Nếu lượt đầu, Cẩn lấy 4 viên => Phước sẽ lấy 1 hoặc 3 viên. Cẩn tiếp tục bị đẩy vào thế chắc chắn thua.
