bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi  hoặc bdt holder  ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\)  câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .

Bài 1:Đặt VT=A

Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)

Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:

\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)

Tương tự với 2 cái còn lại

\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c 

Bài 2:

Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

Tương tự suy ra

\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)

Chọn C

Lời giải:

Hiển nhiên $a-b>0$.

Ta có:

\(P=\sqrt{ab}.\sqrt{ab}+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}.\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\geq 2\sqrt{a+b}\) theo BĐT AM-GM.

Mặt khác:

Từ ĐKĐB suy ra \(ab(a-b)^2=(a+b)^2\)

\(\Leftrightarrow ab[(a+b)^2-4ab]=(a+b)^2\)

Đặt $a+b=x; ab=y$ với $x,y>0; x^2\geq 4y$ thì:

\(y(x^2-4y)=x^2\Leftrightarrow x^2(y-1)=4y^2\)

Hiển nhiên $y>1$

$\Rightarrow x^2=\frac{4y^2}{y-1}=\frac{4(y^2-1)}{y-1}+\frac{4}{y-1}$

$=4(y+1)+\frac{4}{y-1}=4(y-1)+\frac{4}{y-1}+8$

$\geq 2\sqrt{4(y-1).\frac{4}{y-1}}+8=16$ (AM-GM)

$\Rightarrow x\geq 4$ hay $a+b\geq 4$

Do đó: $P\geq 2\sqrt{a+b}\geq 2\sqrt{4}=4$

Vậy $P_{\min}=4$
Giá trị này đạt tại $(a,b)=(2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$

ta có \(\sqrt{ab}=\dfrac{a+b}{a-b}=>ab=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)

=>P=\(ab+\dfrac{a-b}{\sqrt{ab}}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{a-b}{\dfrac{a+b}{a-b}}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\)

áp dụng BDT AM-GM ta có \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\ge\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}.\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b}}=2\sqrt{a+b}\left(1\right)\)

lại có \(\sqrt{ab}=\dfrac{a+b}{a-b}=>a+b=\sqrt{ab}.\left(a-b\right)=>2.\left(a+b\right)=2.\sqrt{ab}.\left(a-b\right)\)

áp dụng BDT AM-GM ta được \(2\left(a+b\right)=2.\sqrt{ab}.\left(a-b\right)\le\dfrac{\left(2\sqrt{ab}\right)^2+\left(a-b\right)^2}{2}=\dfrac{4ab+a^2-2ab+b^2}{2}\)

=\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

=>\(2\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=>a+b\ge4\left(2\right)\)

từ (1)(2)=>\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\ge2\sqrt{a+b}\ge4\)

dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=2\(+\sqrt{2}\), b=\(2-\sqrt{2}\)

vậy MIn P=4 khi (a,b)=(2+\(\sqrt{2};2-\sqrt{2}\))

A

A

a

diiiiiiiiiiiiiiiiiiiioaaaaaaaaaâkjfàokàokáafdá

gdfh

dgh

d

hgsdf

sdf

gsdg

sdg

s

dg

dsg

gs

s

dg

s

dsdgsđsgsd