Qua điểm O kẻ 1 đường thẳng vuông góc với dây cung AB tại H => H là trung điểm AB

Ta có: PM và PN là 2 tiếp tuyến từ P kẻ đến (O) => Tứ giác MONP nội tiếp đường tròn.

=> ^ONM = ^OPM (1)

Xét tứ giác MHOP: ^OHP = ^OMP = 90⁰ => Tứ giác MHOP nội tiếp đường tròn

=> ^OPM + ^OHM = 180⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ONM + ^OHM = 180⁰ => Tứ giác MHON nội tiếp đường tròn.

=> ^HOM= ^HNM (Cùng chắn cung HM) hay ^HOI = ^HNC (3)

Xét tứ giác HOAI: ^OHA = ^OIA = 90⁰ => Tứ giác HOAI nội tiếp đường tròn

=> ^HOI = ^HAI (Cùng chắn cung IH) (4)

Từ (3) và (4) => ^HNC = ^HAI hay ^HNC = ^HAC => Tứ giác ACHN nội tiếp đường tròn.

=> ^AHC = ^ANC = ^ANM (5)

Do tứ giác BMAN nội tiếp (O) => ^ANM = ^ABM (6)

Từ (5) và (6) => ^AHC=^ABM hay ^AHC = ^ABD.

Ta thấy 2 góc trên nằm ở vị trí đồng vị => HC // BD 

Xét tam giác BAD: H là trung điểm AB; HC // BD (C thuộc AD) => C là trung điểm của AD (đpcm).

a) Xét tứ giác PMON có 

\(\widehat{PMO}\) và \(\widehat{PNO}\) là hai góc đối

\(\widehat{PMO}+\widehat{PNO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: PMON là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Xét ΔOAB có OA=OB(=R)

nên ΔOAB cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔOAB cân tại O(cmt)

mà ON là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AB(N là trung điểm của AB)

nên ON là đường cao ứng với cạnh AB(Định lí tam giác cân)

hay \(\widehat{ONA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ONM}=90^0\)

Xét tứ giác OFMN có 

\(\widehat{ONM}\) và \(\widehat{OFM}\) là hai góc đối

\(\widehat{ONM}+\widehat{OFM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: OFMN là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Tạm câu c) làm sau :<