Cho a,b,c >0 và abc= 1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Giúp với , cần gấp
Cho a,b,c>0 và abc=1
cmr: \(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3
\)
bđt cần c/m tương đương với:
\(\left(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)+\left(\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)+\left(\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\\ \ \)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
Mặt khác:
\(a+b+c\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
=> \(VT\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Ta cần c/m:
\(3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
<=> \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)(BĐt Cô-si)
xong rồi bạn nhé
Bài 1: Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: \(\frac{1}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{1}{\sqrt{a+c-b}}+\frac{1}{\sqrt{a+b-c}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}.\)
Bài 2: Cho a,b,c >0. CMR: \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right).\)
Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)
⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2
⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự
⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y
⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0
(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)
dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c
Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33
Ha~ Idol về mảng copy nay giỏi quá lè:33. Tác hại của việc copy paste là đây
Lần sai copy paste nhớ nhìn lại với chỉnh sửa đi nhá. Ko để này lộ liễu bôi bác lắm
Copy always mà vẫn 50k giải tuần đấy, ghê=))
(4)Bài 1:Với \(\forall\) a>b>0. CMR: a+ \(\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
(7) Bài 2: Cho a,b,c \(\ne\) 0 .CMR: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
(8) Bài 3: Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1
CMR: \(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Cho a,b,c>0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
CMR \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{abc}\)
a)Cho \(a,b,c>0.Cmr:\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)
b)Cho a,b,c dương và a+b+c=1 . Cmr :\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Mình đang cần gấp , mong mọi người giúp đỡ . Cảm ơn rất nhiều!
Câu đề HN vừa thi hôm trước, sửa thành tìm max
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1/3
Làm xong mới thấy không giống lắm hihi:D
1 ) Cho a,b,c >0 và abc= 1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
2 ) Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3
CMR : \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
a/ \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\sqrt{c}}\)
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ \(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\)
\(VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Bài 1 :
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge\left(\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)+\left(\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)+\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(+3\sqrt[6]{abc}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bài 2 :
Ta có :
\(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)
( Dấu " = " \(\Leftrightarrow x^2=yz\) )
Theo đề bài ta có : \(x+y+z=3\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)
\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)
Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự ta cũng có : \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}};\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên , ta được :
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
cho a,b,c>0. CMR: \(\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\ge\frac{3}{\sqrt{2abc}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
doan thi khanh linh câm cái mồm đi.đã ngu lại còn thích k
áp dụng co si ta có:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Cho a b c > 0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\). CMR \(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\ge\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}\)