\(x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2-12xy+8x-16y+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-12xy+9y^2\right)-y^2+8x-16y+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+4\left(2x-3y\right)+4-\left(y^2-4y+4\right)+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2\right)^2-\left(y-2\right)^2+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2-y+2\right)\left(2x-3y+2+y-2\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-4y+4\right)\left(2x-2y\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y+2\right)\left(x-y\right)=-\frac{3}{2}\)

Đến đây ta thấy vô lý

P/S:is that true ?

=-12 mà CTV

\(2x^2+2y^2-5xy+x-2y+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)+x-2y+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y+1\right)=-3\) 

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\) là bộ nghiệm nguyên dương duy nhất

hihi em mới học lớp 3 thôi

nghĩ là khoảng 35

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{y+z}=\dfrac{y}{z}\Rightarrow xz=y^2\)

\(\left(y+2\right)\left(4xz+6y-3\right)=n^2\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)=n^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)

\(\Rightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) nguyên tố cùng nhau

Mà \(\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là SCP \(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) đồng thời là SCP

\(\Rightarrow4y^2+6y-3=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2k\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(4y+3-2k\right)\left(4y+3+2k\right)=21\)

Giải pt ước số trên ra \(y=2\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn

Thế vào \(xz=y^2=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)

Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1). 
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

 Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

Xét x= 1 => \(\dfrac{2}{y-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(y=2\vee y=3\)

Xét y=1 => \(\dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(x=2\vee x=3\)

Xét \(x\ge 2\) hoặc \(y\ge 2\) . Ta có : \((x,xy-1)=1\). Do đó :

\(xy-1|x^3+x\Rightarrow xy-1|x^2+1\Rightarrow xy-1|x+y\)

=> \(x+y\ge xy-1\Rightarrow (x-1)(y-1)\le 2\). Từ đó có \((x-1)(y-1)=1\ \vee (x-1)(y-1)=2\) 

=> x = y = 2 ( loại ) hoặc x = 2 ; y = 3 hoặc x = 3 ; y= 2

Vậy các cặp số ( x;y ) thỏa mãn là (1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(2;3),(3;2)

Vào đây tham khảo nha ! : Câu hỏi của Phạm Chí Cường - Toán lớp 6 | Học trực tuyến