Lời giải:a) Gọi $M(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua với mọi giá trị của $m$. Ta chỉ cần chỉ ra $x_0,y_0$ có tồn tại là được.

$M\in (d), \forall m$

$\Leftrightarrow y_0=(m-2)x_0+2, \forall m$

$\Leftrightarrow mx_0+(2-2x_0-y_0)=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=0\\ 2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=0\\ y_0=2\end{matrix}\right.\) 

Vậy $(d)$ luôn đi qua điểm cố định $(0,2)$ (đpcm)

b) Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox,Oy$

Dễ thấy $A(\frac{-2}{m-2},0)$ và $B(0,2)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, nếu khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$ thì:

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}=\frac{(m-2)^2}{4}+\frac{1}{4}\)

Để $h=1$ thì \((m-2)^2+1=4\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}-2\)

c) Để $h_{\max}$ thì $\frac{(m-2)^2+1}{4}$ min

$\Leftrightarrow (m-2)^2+1$ min

Dễ thấy $(m-2)^2+1$ đạt giá trị min bằng $1$ khi $m-2=0\Leftrightarrow m=2$

** Sửa đề: $m\neq 0; m\neq -1$

Lời giải:

Gọi đths đã cho là $(d)$.

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$với trục $Ox, Oy$.

Do $A\in Ox$ nên $y_A=0$

$A\in (d)\Rightarrow y_A=mx_A+x_A+1$

$\Leftrightarrow 0=x_A(m+1)+1$

$\Leftrightarrow x_A=\frac{-1}{m+1}$

Do $B\in Oy$ nên $x_B=0$

$y_B=mx_B+x_B+1=m.0+0+1=1$

Gọi $h$ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến $(d)$. 

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{x_A^2}+\frac{1}{y_B^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=1+(m+1)^2$

Với $m\neq -1$ thì không tìm được min $1+\frac{1}{(m+1)^2}$, tức là không tìm được max h.