Câu hỏi của Trần Thành Phát Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(\frac{1}{9}+1\right)}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)\)

Tương tự:\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{y}{3}+\frac{1}{y}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{z}{3}+\frac{1}{z}\right)\)

Cộng lại ta có:

\(LHS\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{3}\right)\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{9}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{3}\right)\)

\(=\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)}+\frac{26}{3\left(x+y+z\right)}\right)\)

ai đó giúp em đoạn này với.Em cô si xong thấy không đúng ạ :(

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : với các số dương a,b,c,d , ta có : 

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\) (*)

\(< =>a^2+b^2+c^2+d^2+2.\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(< =>2.\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2\left(ac+bd\right)\)\(< =>\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)

\(< =>a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)

\(< =>VT-VP=\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức (*) , ta có : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}^2+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)(+)

Tiếp tuc ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : với các số dương a,b,c  :

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)(**)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế \(< =>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\left(đpcm\right)\)

Ta có bất đẳng thức (**) đúng nên suy ra được \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(***)

Bất đẳng thức (***) tương đương với \(\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Mà theo đánh giá của AM-GM thì \(\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}}=2\)(****)

Vfa theo giả thiết \(x+y+z\le1< =>\frac{1}{x+y+z}\ge1< =>\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}\ge80\)(*****)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (****) và (*****) ta được : \(\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2+80=82\) 

Khi đó \(\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\ge82\)(++)

Từ (+) và (++) ta suy ra được : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{82}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy bài toán đã được hoàn tất chứng minh ! 

x^2+1>=2x suy ra 1/x^2+1=y<=1/2x+y=1/x+x+y=1/9(9/x+x+y)<=1/x+1/x+1/y.

A(BT)<=1/9(3/x+3/y+3/z)=1/3(1/x+1/y+1/z)

Mà từ x+y+z=xy+yz+zx suy ra x+y+z=xy+yz+zx>=3

dễ dàng cm bằng phương pháp đánh giá suy ra 1/x+1/y+1/z<3

suy ra A<1/3.3=1(đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2yz+2=x^2+\left(y^2+2yz+z^2\right)=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2\sqrt{x^2.\left(y+z\right)^2}=2x\left(y+z\right)\Rightarrow yz+1\ge x\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow VT\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=\frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\)

Khảo sát hàm trên với \(p\in\left[\sqrt{2};2\right]\)ta cũng có \(VT\le1\)

Vậy ta có: \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 0

bài này x,y,z pk không âm

bài này x,y,z >=0 (tức ko âm) nha, như thế ms có xyz >=0 đc (1 số = ), x,y,z >0 thì ko đc

mk hơi vội nên sai 1 số lỗi nhỏ bn tự sửa nhé

\(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

Áp dụng Bđt MIncopxki ta có:

\(A\ge\sqrt{\left(x+y+\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)

Dấu = khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

vì sao từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) mà ra được \(\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\)