Những câu hỏi liên quan
Kim Taehyungie
Xem chi tiết
👁💧👄💧👁
16 tháng 12 2019 lúc 21:33

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\ \Rightarrow2\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}\\ \frac{2}{c}=\frac{a+b}{ab}\\ \Rightarrow2ab=c\left(a+b\right)\\ ab+ab=ca+cb\\ ab-cb=ca-ab\\ b\left(a-c\right)=a\left(c-b\right)\\ \Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Vũ Minh Tuấn
16 tháng 12 2019 lúc 21:42

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}:\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a+b}{ab}\)

\(\Rightarrow2ab=\left(a+b\right).c\)

\(\Rightarrow2ab=ac+bc\)

\(\Rightarrow ab+ab=ac+bc\)

\(\Rightarrow ab-bc=ac-ab\)

\(\Rightarrow b.\left(a-c\right)=a.\left(c-b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Phạm Hồ Thanh Quang
Xem chi tiết
Nguyễn Đại Nghĩa
Xem chi tiết
Phạm Hồ Thanh Quang
Xem chi tiết
Thắng Nguyễn
1 tháng 7 2017 lúc 10:33

Lần sau đăng ít một thôi toàn bài dài :v, ko phải ko làm mà là ngại làm

a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{4}\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

b)Đặt \(THANG=abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ac\right)\left(c^2+ab\right)>0\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{b+c}{a^2+bc}-\frac{c+a}{b^2+ac}-\frac{a+b}{a^2+ab}\)

\(=\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{THANG}\)

\(=\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2THANG}\ge0\) (Đúng)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

c)Ta có:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)

Và \(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)

\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-b\right)}{\left(b+a\right)\left(b^2+a^2\right)}\)

Cộng theo vế 3 đăng thức trên ta có:

\(VT-VP=Σ\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\cdotΣ\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge0\)

2 bài cuối full quy đồng mệt thật :v

Bình luận (0)
Tuấn Anh Nguyễn
Xem chi tiết
Mr Lazy
9 tháng 8 2016 lúc 17:39

a

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)

Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế và thu gọn sẽ được đpcm.

b

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2}\le\frac{a}{2ab}=\frac{1}{2b}\)

Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế là được đpcm.

Bình luận (0)
Nguyên
9 tháng 8 2016 lúc 16:07

mình chỉ làm đc câu a thôi nhưng dài lắm

bài đó áp dụng bất đẳng thức cô si

Bình luận (0)
vo hông tân
23 tháng 2 2017 lúc 10:49

 bài dài quá bạn ạ 

Bình luận (0)
N.T.M.D
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 5 2021 lúc 17:18

Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 5 2021 lúc 17:20

b.

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)

Cộng vế với vế (1); (2) và (3):

\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bình luận (0)
N.T.M.D
Xem chi tiết
mynameisnga
Xem chi tiết
tth_new
31 tháng 3 2019 lúc 9:36

1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)

Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm

Bình luận (0)
tth_new
31 tháng 3 2019 lúc 9:42

4/\(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\Rightarrow\frac{a^2}{b}\ge2a-b\)

Thiết lập 2 BĐT còn lai5n tương tự,cộng theo vế ta có đpcm.

Bình luận (0)
tth_new
31 tháng 3 2019 lúc 9:44

3/Theo BĐT AM-GM,ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\)

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm

Bình luận (0)
Vũ Bùi Nhật Linh
Xem chi tiết