Hình bạn tự vẽ nhé

a, Ta có: D đối xứng với H qua AB \(\Rightarrow\)AB là đường trung trực mà A \(\in\)AB \(\Rightarrow AD=AH\)(1)

Tương tự ta có: \(AH=AE\)(2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow AD=AE\)

\(\Delta ADH\)có: \(AD=AH\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta ADH\)cân tại A có AB là đường trung trực \(\Rightarrow\)AB là phân giác của \(\widehat{DAH}\)\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{BAH}\)

Chứng minh tương tự với \(\Delta AHE\)\(\Rightarrow\)AC là phân giác của \(\widehat{HAE}\)\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{CAE}\)

\(\Delta ABC\)có: \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o\)

Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{BAH}+\widehat{HAC}+\widehat{CAE}=\widehat{DAE}\)

hay \(2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=\widehat{DAE}\)

       \(2\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=\widehat{DAE}\)

       \(2.90^o=\widehat{DAE}=180^o\)

\(\Rightarrow\)D, A, E thẳng hàng

mà \(AD=AE\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\)A là trung điểm của DE

b, Ta có: AB là đường trung trực mà B \(\in\)AB \(\Rightarrow BD=BH\)

Tương tự ta có: \(CH=CE\)

Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta AHB\)có: 

AB chung

\(AD=AH\left(cmt\right)\)

\(DB=BH\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta AHB\left(c-c-c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^o\Rightarrow BD\perp DE\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AHC=\Delta AEC\left(c-c-c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^o\Rightarrow EC\perp DE\)

Ta có: \(BD\perp DE\left(cmt\right)\)

          \(EC\perp DE\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BD//EC\)

Tứ giác BDEC có: \(BD//EC\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)BDEC là hình thang có \(\widehat{BDE}=\widehat{DEC}=90^o\Rightarrow\)BDEC là hình thang vuông

a/ D đối xứng với H qua AB

⇒ AB là đường trung trực của DH ⇒ \(AD=AH\) (tính chất đường trung trực)

- E đối xứng với H qua AC

⇒ AC là đường trung trực của DE ⇒ \(AH=AE\) (tính chất đường trung trực)

Vậy: \(AD=AE\) hay A là trung điểm của DE (đpcm)

==========

b/ - AB là trung trực của DH (cmt) ⇒ \(DB=HB\) (tính chất đường trung trực)

- AC là đường trung trực của DE (cmt) ⇒ \(HC=HE\) (tính chất đường trung trực)

Xét △ADB và △ADH có:

 - \(AH=AD\left(cmt\right)\)

 - \(AB\text{ }chung\)

 - \(DB=HB\left(cmt\right)\)

⇒ △ADB=△AHB (c.c.c) ⇒ \(\hat{ADB}=\hat{AHB}=90\text{°}\left(1\right)\)

- Tương tự ta cũng có: △AHC=△AEC (c.c.c) ⇒ \(\hat{AHC}=\hat{AEC}=90\text{°}\left(2\right)\)

\(DE\perp DB;DE\perp CE\Rightarrow DB\text{//}CE\)

⇒ ABEC là hình thang

Từ (1) và (2): Vậy: ABEC là hình thang vuông (đpcm)

==========

c/ Xét △AHB và △ABC có:

- \(\hat{AHB}=\hat{BAC}=90\text{°}\)

- \(\hat{ABH}\text{ }chung\)

⇒ △HBA ∼ △ABC (g.g) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HB}{AB}\Rightarrow AB=\sqrt{\left(2+8\right).2}=\sqrt{20}\left(cm\right)\)

Xét △AHB vuông tại H:

\(AB^2=AH^2+HB^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{\left(\sqrt{20}\right)^2-2^2}=4\left(cm\right)\)

- Mặt khác: \(AH=AD=AE=4\left(cm\right)\)

\(HB=DB=2\left(cm\right)\)

\(HC=CE=8\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow P_{BDEC}=\left(4+4\right)+2+\left(2+8\right)+8=28\left(cm\right)\)

Vậy: \(AH=4cm\)

        \(P_{BDEC}=28cm\)

a) D,E đối xứng H qua AB,AC => AB,AC là trung trực của HD và HE

Dùng các tính chất của đường trung trực dễ dàng có \(\Delta ABH=\Delta ABD\)và \(\Delta ACH=\Delta ACE\)

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{BAD}=\widehat{BAH}\\\widehat{CAE}=\widehat{CAH}\end{cases}}\)Xét\(\widehat{DAE}=\widehat{BAD}+\widehat{BAH}+\widehat{CAE}+\widehat{CAH}=2\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=2\widehat{BAC}=2.90^0=180^0\)

=>A,D,E thẳng hàng

b) Có \(\Delta ABH=\Delta ABD\)và \(\Delta ACH=\Delta ACE\)=>\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^0\\\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^0\end{cases}}\)=>đpcm

c)  Có \(\Delta ABH=\Delta ABD\)và \(\Delta ACH=\Delta ACE\)=>\(\hept{\begin{cases}BD=BH\\CE=CH\end{cases}\Rightarrow BD+CE=BH+CH=BC}\)

a. ta có: góc DAB =góc BAH, góc EAC = góc CAH

=> góc DAE = gocsDAB + góc BAH + góc CAH + góc CAE = 2 góc BAH + 2 góc CAH = 2. (góc BAH + góc CAH) = 2 góc BAC = 2.90độ = 180 độ

=> A, D, E thẳng hàng

b. Dễ CM: AD=AH, BD=BH => \(\Delta ADB=\Delta AHB\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90đ\\ \)

CMTT có: góc AEC = 90độ

=> BD//EC

=> BDEC là hình thang vuông

c, Từ phần b có: BD=BH, CE=CH

Mà BC=BH+CH => BC=BD+CE