không biết :))))

b, Gọi biểu thức đề ra là B

=> Theo bđt cô si ta có : \(B\ge3\sqrt[3]{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)\left(z^2+\frac{1}{x^2}\right)}\)

=> \(B\ge3\sqrt[3]{2\cdot\frac{x}{y}\cdot2\cdot\frac{y}{z}\cdot2\cdot\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{8}=6\) 

( Chỗ này là thay \(x^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=2\cdot\frac{x}{y}\) và 2 cái kia tương tự vào )

=> Min B=6

Theo bđt cô si thì ta có : \(\sqrt{\left(x+y\right)\cdot1}\le\frac{x+y+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(z+x\right)\cdot1}\le\frac{z+x+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(y+z\right)\cdot1}\le\frac{y+z+1}{2}\)

=> Cộng vế theo vế ta được : \(A\le\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra khi : x+y+z=1 và x+y=1 và y+z=1 và x+z=1

=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy ...

Mình nhầm chỗ câu b, sửa lại là :

\(B\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)\left(z^2+\frac{1}{x^2}\right)}}\)

Bạn làm tương tự => \(B\ge3\sqrt{2}\).

\(A^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+2\left(\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{xz}}+\dfrac{xz}{\sqrt{xy}}\right)\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+z\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^4y^2z}{y^2z}}=4x\)

\(\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{yz}{\sqrt{xz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{xz}}+x\ge4\sqrt[4]{\dfrac{y^4z^2x}{z^2x}}=4y\)

\(\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{xz}{\sqrt{xy}}+\dfrac{xz}{\sqrt{xy}}+y\ge4\sqrt[4]{\dfrac{z^4x^2y}{x^2z}}=4z\)

Cộng VTV 3 BĐT trên:

\(\Leftrightarrow A^2+\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)\\ \Leftrightarrow A^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3\cdot12=36\\ \Leftrightarrow A\ge6\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{12}{3}=4\)

Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\\\sqrt{y+xz}=\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\\\sqrt{z+xy}=\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\end{cases}}\)

Ta viết lại A

\(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM:

\(A\le\frac{x+y+x+z+x+y+y+z+y+z+x+z}{2}=2\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz\)

\(=x^2+xy+xz+yz\)

\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

+ Tương tự : \(y+xz=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

\(z+xy=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

+ Theo bđt AM-GM : \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{x+y+x+z}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+y=x+z\Leftrightarrow y=z\)

+ Tương tự ta cm đc : 

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+2y+z}{2}\).   Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=z\)

\(\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+2z}{2}\).   Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Do đó : \(A\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\)

A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy Max A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

x+yz=x(x+y+z)+yz

=x2+xy+xz+yz

=x(x+y)+z(x+y)=(x+z)(x+y)

+ Tương tự : y+xz=(x+y)(y+z)

z+xy=(x+z)(y+z)

+ Theo bđt AM-GM : √(x+y)(x+z)≤x+y+x+z2 

⇒√(x−1)(y−1)≤2x+y+z2 

Dấu "=" xảy ra ⇔x+y=x+z⇔y=z

+ Tương tự ta cm đc : 

√(x+y)(y+z)≤x+2y+z2 .   Dấu "=" xảy ra ⇔x=z

√(x+z)(y+z)≤x+y+2z2 .   Dấu "=" xảy ra ⇔x=y

Do đó : A≤4(x+y+z)2 =2

A = 2 ⇔x=y=z=13 

Vậy Max A = 2 

áp dụng bunhiacopski ta có: 

P^2 =< (1+1+1)(1/1+x^2 + 1/1+y^2+1/1+z^2)= 3(....)

đặt (...) =A

ta có: 1/1+x^2=< 1/2x

tt với 2 cái kia

=> A=< 1/2(1/x+1/y+1/z) =<1/2 ( xy+yz+xz / xyz)=1/2 ..........

đoạn sau chj chịu

^^ sorry

Bài này là câu lớp 8 rất quen thuộc rùiiiiiii !!!!!!!!

gt <=>    \(\frac{x+y+z}{xyz}=1\)

<=>    \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

Đặt:   \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

=>    \(ab+bc+ca=1\)

VÀ:    \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\)

THAY VÀO P TA ĐƯỢC:    

\(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{c^2}}}\)

=>     \(P=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+1}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2+1}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2+1}{c^2}}}\)

=>     \(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)

Thay     \(1=ab+bc+ca\)    vào P ta sẽ được:

=>      \(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

=>     \(P=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

=>      \(2P=2.\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+c}}+2.\sqrt{\frac{b}{b+a}}.\sqrt{\frac{b}{b+c}}+2.\sqrt{\frac{c}{c+a}}.\sqrt{\frac{c}{c+b}}\)

TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ SẼ ĐƯỢC:

=>      \(2P\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\)

=>     \(2P\le\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+b}\right)+\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}\right)\)

=>     \(2P\le\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\)

=>     \(2P\le1+1+1=3\)

=>     \(P\le\frac{3}{2}\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(a=b=c\)    . MÀ     \(ab+bc+ca=1\)

=>     \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)

=>     \(x=y=z=\sqrt{3}\)

VẬY P MAX \(=\frac{3}{2}\)      <=>      \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Ta có: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{x^2+xy+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}}=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\)

Tương tự ta viết lại A và áp dụng BĐT Mipcopxki :

\(A=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3z^2}{4}}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3x^2}{4}}\)

\(=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(\frac{3\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(\frac{3\cdot3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\cdot3}{2}\right)^2}=\sqrt{27}\)

Xảy ra khi x=y=z=1