Ta có :

2n+2017 là số chính phương lẻ => 2n+2017 chia 8 dư 1

=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4

=> n+2019 chia ch 4 dư 3

mà số chính phương chia cho 4 dư 0,1

=> không tồn tại n

2n + 2017 là số chính phương lẻ

=> 2n + 2017 chia 8 dư 1 ( do scp lẻ chia 8 dư 1)

=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4

=> n + 2019 chia 4 dư 3

Mà scp chia 4 dư 0 hoặc 1

=> n + 2019 ko là scp

Vậy ko tồn tại STN n thoả mãn

Đặt \(\hept{\begin{cases}2n+2017=a^2\\n+2019=b^2\end{cases}\left(a,b\inℕ^∗\right)}\)

Dễ thấy : \(a^2\) là số chính phương lẻ, mà số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm ).

\(\Rightarrow2n+2017\equiv1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow2n⋮8\) \(\Rightarrow n⋮4\)

\(\Rightarrow n+2019:4\) dư 3 hay \(\Rightarrow b^2:4\) dư 3

Lại có : một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm )

\(\Rightarrow n+2019\) không phải là số chính phương.

Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề.

*) Chứng minh bài toán phụ :

+) Số chính phương lẻ chia 8 dư 1 :

Ta có : \(\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\) chia 8 dư 1. 

+)  Một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. 

Ta có : \(\left(2k\right)^2=4k^2⋮4\) nên khi chia 4 có số dư là 0.

\(\left(2k+1\right)^2=4k\left(k+1\right)+1\) chia 4 dư 1.

Có: 2n+2017=a^2 (1)        (a,b ∈N)

      n+2019=b^2  (2)   

Từ (1)⇒ a lẻ ⇒ a=2k+1 (k∈N)

 (1) trở thành 2n+2017=(2k+1)^2

                    ⇔ n+1008=2k(k+1)

Vì k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp ⇒ k(k+1) chia hết cho 2 

⇒ n+1008 chia hết cho 4 ⇒n chia hết cho 4 (vì 1008 chia hết cho 4)

Vì n chia hết cho 4 ⇒ b lẻ ⇒b=2h+1 (h∈N)

(2) trở thành n+2019=(2h+1)^2

                    ⇔n+2018=4(h^2+h) (3)

Có: n chia hết cho 4, 2018 không chia hết cho 4

⇒ n+2018 không chia hết cho 4

mà 4(h^2+h) chia hết cho 4

Nên (3) vô lý

Vậy không tồn tại n thỏa mãn

Đặt: \(n^2+2019=a^2\)

=> \(a^2-n^2=2019\Leftrightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2019=2019.1=3.673=\left(-2019\right).\left(-1\right)\)\(=\left(-3\right).\left(-673\right)\)

vì n là số tự nhiên => a+n>a-n

Em kẻ bảng:

vậy n=1009 hoặc 335

10 ≤ n ≤ 99 ↔ 21 ≤ 2n+1 ≤ 201

2n+1 là số chính phương lẻ nên

2n+1∈ {25;49;81;121;169}

↔ n ∈{12;24;40;60;84}

↔ 3n+1∈{37;73;121;181;253}

↔ n=40

+Ta có: 2n+1 và 3n+1 là số chính phương. 
+Áp dụng bài 7, suy ra n chia hết cho 40. Mà n là số có 2 chữ số.
=> n=40 hoặc n=80.
+Trường hợp n=80 thì loại do 2.80+1 không phải là số chính phương.
Vậy n=40 thoả mãn đề bài

Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 chia 8 dư 1,vậy n là số chẵn.
Vì 3n+1 là số chính phương lẻ nên 3n+1 chia 8 dư 1
⟹3n⋮8
⟺n⋮8(1)
Do 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương lẻ có tận cùng là 1;5;9.do đó khi chia cho 5 thì có số dư là 1;0;4
Mà (2n+1)+(3n+1)=5n+2 ,do đo 2n+1 và 3n+1 khi cho cho 5 đều dư 1
⟹n⋮5(2)
Từ (1) và (2)⟹n⋮40
Vậy n=40k thì ...

Giải thích các bước giải:

a. Vì DM⊥AB⇒ˆDMA=90oDM⊥AB⇒DMA^=90o,

DN⊥AC⇒ˆDNA=90oDN⊥AC⇒DNA^=90o,

ΔABC⊥A⇒ˆA=90oΔABC⊥A⇒A^=90o

⇒◊AMDN⇒◊AMDN là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pitago vào ΔAMD⊥M,AM=3cm,AD=5cmΔAMD⊥M,AM=3cm,AD=5cm có:

MD=√AD2−AM2=4cmMD=AD2−AM2=4cm

⇒SAMDN=AM.DM=12cm2⇒SAMDN=AM.DM=12cm2

b. Gọi AD∩MN=E⇒EAD∩MN=E⇒E là trung điểm AD, MN

Mà AH⊥BCAH⊥BC

ΔAHD⊥H,EΔAHD⊥H,E là trung điểm cạnh huyền ADAD

⇒EH=EA=ED=EM=EN⇒EH=EA=ED=EM=EN

⇒ΔMHN⇒ΔMHN vuông tại HH

⇒ˆMHN=90o⇒MHN^=90o

c. Gọi G,IG,I là  trung điểm AB,ACAB,AC suy ra GIGI là đường trung bình của ΔABCΔABC

⇒GI//BC⇒GI//BC

⇒GE,EI⇒GE,EI là đường trung bình ΔABD,ΔADC⇒GE//BD,EI//DCΔABD,ΔADC⇒GE//BD,EI//DC hay GE,EI//BCGE,EI//BC

⇒E∈GI⇒E∈GI

⇒⇒ Trung điểm EE của MNMN di chuyển trên đường trung bình ΔABCΔABC.

đây là đại số nha bạn

đặt n+18 = k^2 (1) 
và n - 41 = m^2 (2) 
Lấy (1) trừ (2) ta được: 
k^2 - m^2 = 59 
=> (k-m)(k+m) = 59 
Do k + m > k-m và 59 = 1 . 59 
nên k+m = 59 và k-m = 1 
=> k+m = 59 và k-m = 1 thì k = 30 và m = 29 
Vậy n + 18 = k^2 = 30^2 = 900 
=> n = 882