a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔACF

=>AB/AC=AE/AF

=>AE/AB=AF/AC và AE*AC=AB*AF

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>góc AEF=góc ACB

c; góc AFH=góc AEH=90 độ

=>AFHE nội tiếp (I)

=>IF=IE

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp (M)

=>MF=ME

=>MI là trung trực của EF

=>MI vuông góc EF

a: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\left(1\right)\)

Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)

mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{xAC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

Ta có: Ax//FE

OA\(\perp\)Ax

Do đó: OA\(\perp\)FE

b: Gọi giao điểm của AI và (O) là D

Xét (O) có

AO là bán kính

AO cắt (O) tại D

Do đó: AD là đường kính của (O)

Gọi giao điểm của AH với BC là N

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại N

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

Xét ΔANB vuông tại N và ΔACD vuông tại C có

\(\widehat{ABN}=\widehat{ADC}\)

Do đó: ΔANB~ΔACD

=>\(\widehat{BAN}=\widehat{CAD}\)

=>\(\widehat{BAN}+\widehat{NAD}=\widehat{CAD}+\widehat{NAD}\)

=>\(\widehat{PAE}=\widehat{IAB}\)

Xét ΔAPE và ΔAIB có

\(\widehat{PAE}=\widehat{IAB}\)

\(\widehat{AEP}=\widehat{ABI}\)

Do đó: ΔAPE~ΔAIB

a/

H là trực tâm của tg ABC 

\(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg 3 đường cao đồng quy tại 1 điểm)

b/

Xét 2 tg vuông ACD và tg vuông BCE có

\(\widehat{ACB}\) chung => tg ACD đồng dạng với tg BCE

\(\Rightarrow\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}\Rightarrow CE.CA=CD.CB\)

a: Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại D

b: Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có

góc BCE chung

=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB

=>CD/CE=CA/CB

=>CD*CB=CE*CA

xét tam giác ABC có

CF vuông gọc với AB
BE vuông góc với AC 

suy ra AH vuông góc với BC ( đường cao thứ ba )

a. Xét △ AFC và △ AEB có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^0\)

⇒ △AFC đồng dạng với △ AEB(g.g)

⇒ \(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\)

⇒ \(AB.AF=AE.AC\)

\(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét △ AEF và △ ABC có :

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\left(cmt\right)\)

⇒△ AEF đồng dạng với △ ABC (c.g.c)

Mấy câu kia bạn tự làm nốt đi nhá.