chứng minh rằng không có các số dương a,b,c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức
4(1-b)>1 ,4b(1-a)>1,4c(1-a)>1
CMR không có các số dương a,b,c nào thỏa cả 3 bất đẳng thức:
1) a + 1/b <1
2) b + 1/c <2
3) c + 1/a <3
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Gấp gấp gấp, mai thi rồi... Có ai giúp nhanh không nào :( --- Câu 1 : Cho a, b, c, thỏa mãn a2 + b2 + c2 =< 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 3ab + bc + ca
Câu 2: cho 2 số dương a, b thỏa mãn a + b + ab =< 3 . chứng minh bất đẳng thức : 1/(a + b) – 1/(a + b - 3) – (a + b) >= (ab – 3) / 4
Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c\)
Thì ta có bất đẳng thức:
\(a+b+c\ge3abc\)
Chứng minh không có 3 số a , b , c thỏa mãn cả 3 BĐT"
4a . (1-b) >1
4b . (1-c) >1
4c . (1-a) >1
Gia su ton tai 3 so a,b,c thoa man dieu kien
=> 4a(1-a)4b(1-b)4c(1-c)>1
Lai co 4a(1-a)=4a-4a2
=-(4a2-4a+1)+1
=-(2a-1)2+1\(\le1\)
tuong tu .....
=> 4a(1-a)4b(1-b)4c(1-c)\(\le\)1
Vay k ton tai 3 so a,b,c thoa man dk de bai
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca} \geq \dfrac{3}{2}\)
Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a+b = 4ab. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{4b^2+1}\)+\(\dfrac{b}{4a^2+1}\)≥\(\dfrac{1}{2}\)
Ta có \(-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\ge-\dfrac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2}}=\dfrac{4ab^2}{4b}=ab\)
\(-\dfrac{4a^2b}{4a^2+1}\ge-\dfrac{4a^2b}{2\sqrt{4a^2}}=\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\)
Mà \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4a^2+1}\ge a-ab+b-ab=4ab-2ab=2ab\)
Mà \(a+b=4ab\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
ĐK $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b=4$. CMR:
$P=\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y^2}{x(y^2+4)}\geq \frac{1}{2}$
-----------------------
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y(x^2+4)}{64}\geq \frac{x}{4}$
$\frac{y^2}{x(y^2+4)}+\frac{x(y^2+4)}{64}\geq \frac{y}{4}$
Cộng theo vế và rút gọn:
$P\geq \frac{3(x+y)-xy}{16}=\frac{12-xy}{16}$
Mà $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=4$
$\Rightarrow P\geq \frac{12-4}{16}=\frac{1}{2}$
Ta có đpcm.
Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
\(2abc\left(a+b+c\right)\le\frac{5}{9}+a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\)
TA CÓ:
\(a^4b^2+b^4c^2\ge2a^2b^3c,b^4c^2+c^4a^2\ge2b^2c^3a,c^4a^2+a^4b^2\ge2c^2a^3b\)
\(\Rightarrow a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+\frac{5}{9}\ge a^2b^3c+b^2c^3a+c^2a^3b+\frac{5}{9}\)
ĐẶT \(ab=x,bc=y,ca=z\Rightarrow x+y+z=1\)
\(\Rightarrow a^2b^3c+b^2c^3a+c^2a^3b+\frac{5}{9}=x^2y+y^2z+z^2x+\frac{5}{9}\)
TA CẦN C/M:
\(x^2y+y^2z+z^2x+\frac{5}{9}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) \(\left(=2abc\left(a+b+c\right)\right)\)
ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:
\(\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\) DO:\(\left(x+y+z=1\right)\)
VẬY CẦN C/M:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2+\frac{5}{9}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
XÉT HIỆU:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)+1-\frac{4}{9}=\left(xy+yz+zx-1\right)^2-\frac{2^2}{3^2}\)
\(=\left(xy+yz+zx-\frac{1}{3}\right)\left(xy+yz+zx-\frac{5}{3}\right)\)
VÌ:
\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow xy+yz+zx-\frac{1}{3}\le0\)
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx-\frac{1}{3}\right)\left(xy+yz+zx-\frac{5}{3}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Bài này mình có hỏi trên mạng ấy bạn bài này nhiều cách lắm tại mình thấy cách này dễ hiểu nên gửi cho b
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
Ta viết BĐT lại thành:\(\frac{5}{9}\left(ab+bc+ca\right)^3+a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(VT-VP=(a-b)^2(a^2c^2+\frac{17}{9}abc^2+b^2c^2+\frac{5}{9}ac^3+\frac{5}{9}bc^3)+(a-c)(b-c)(a^3b+\frac{5}{9}a^2b^2+a^3c+\frac{11}{9}a^2bc+\frac{2}{9}ab^2c+a^2c^2)\ge0\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh bất đẳng thức; \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(BĐT Cosi)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b+c;b=a+c;c=a+b\Rightarrow a+b+c=0\) (KTM)
Vậy \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
B1: Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
B2: Cho a,b,c dương thỏa mãn: \(a^2+4b^2+9c^2=2015\). CMR: \(a+b+c\le\dfrac{\sqrt{14}}{6}\)
B3: Cho a,b dương thỏa mãn: \(a^2+b^2=1\).CMR: \(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\le\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$2=(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$
$(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b})^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)$
$=2+a+b\leq 2+\sqrt{2}$
$\Rightarrow a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$