a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AQ và MN=AQ

hay AQNM là hình bình hành

mà \(\widehat{A}=90^0\)

nên AQNM là hình chữ nhật

e)-AB cố định, Ax vuông góc AB tại A nên Ax cố định.

-Gọi O là tâm hình chữ nhật AMNQ.

\(\Rightarrow\)O là trung điểm của AN và MQ.

-Qua O kẻ đg thẳng song song với AC cắt AB tại D.

\(\Rightarrow\)D là trung điểm AM, OD cố định.

\(\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{4}AB\).

-Vậy điểm O di chuyển trên đg thẳng song song với AB (O và B cùng phía so với AC) và cách AB một khoảng \(\dfrac{AB}{4}\)

Tự vẽ hình nhé bạn

a) * Xét \(\Delta\)ABC có :

M là trung điểm AB

N là trung điểm BC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta\)ABC

\(\Rightarrow\)MN // AC hay MN // AQ ( 1 )

* Xét \(\Delta\)ABC  có :

Q là trung điểm AC 

N là trung điểm BC

\(\Rightarrow\)QN là đường trung bình của \(\Delta\)ABC 

\(\Rightarrow\)QN // AB hay QN // AM ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)Tứ giác AQNM là hình bình hành mà có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b) Dễ thấy : \(\Delta\)AIM = \(\Delta\)BNM ( c - g - c )

\(\Rightarrow\)Góc AIM = Góc BNM ( 2 góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên IA // BN ( 3 )

Dễ thấy : \(\Delta\)KAQ = \(\Delta\)NCQ ( c - g - c )

\(\Rightarrow\)Góc AKQ = Góc CNQ ( 2 góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AK // NC ( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) \(\Rightarrow\)Ba điểm I, A, K thẳng hàng ( theo tiên đề Ơ - clit )

c) Ta có :

AI = BN ( cmt ) và AK = NC ( cmt )

Mà BN = NC nên AI = AK 

ủa hình như góc AIM với góc BNM đâu có so le trong ?

à rồi mình hiểu rồi cảm ơn bạn nha

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC

nên MN//AC và MN=AC/2

=>MN//AQ và MN=AQ

=>AMNQ là hình bình hành

mà góc QAM=90 độ

nên AMNQ là hình chữ nhật

b: Xét ΔANI có

AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔANI cân tại A
=>AB là phân giác của góc NAI(1)

Xét ΔANK có

AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔANK cân tại A

=>AC là phân giác của góc NAK(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc KAI=2*90=180 độ

=>K,A,I thẳng hàng

c: Vì K,A,I thẳng hàng

nên AK=AI

nên A là trung điểm của KI

hình như đề bài sai

a: Xét tứ giác AKIH có 

\(\widehat{AKI}=\widehat{AHI}=\widehat{HAK}=90^0\)

Do đó: AKIH là hình chữ nhật