cho a,b,c không âm chứng minh rằng a^3+b^3+c^3+6abc>=1/4.(a+b+c)^3
Những câu hỏi liên quan
Cho 3 số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a+2b+c≥≥ 4(1-a)(1-b)(1-c)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm 1-a và 1-c có:
4(1-a)(1-c) =<(1-a+1-c)^2=(1+b)^2
Ta có: 4(1-a)(1-b)(1-c)=<(1+b)^2(1-b)=(1-b^2)(1+b)=<1+b=a+2b+c(đpcm)
Dấu = xảy ra khi b=0;a=c=1/2
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3
a. Chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+15}\)
b. Chứng minh rằng \(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}\le1\)
a.
Bình phương 2 vế, BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge6\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(1+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b.
\(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}=\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+2a+2}\le\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\le1\Leftrightarrow\sum\dfrac{4a+4}{4a+2}\le4\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{2a+1}\ge1\)
Đúng đo: \(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)+3}=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng: (a-1)^3 + (b-1)^3 + (c-1)^3 >= -3/4
Mọi người giúp mình với, mình đang cần gấp ạ
DEO AI BT DAU A.Zay nen tu lam nha.
Cho 4 số không âm a.b.c.d thỏa mãn ab+bc+cd+da=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{d+a+b}+\frac{d^3}{a+b+c}\ge\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz :
\(VT=\frac{a^4}{ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+bc+bd}+\frac{c^4}{cd+ac+bc}+\frac{d^4}{ad+bd+cd}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
Mà \(3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)( dễ dàng chứng minh nó bằng AM-GM)
nên \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd;d^2+a^2\ge2ad\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+bc+cd+da=1\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{3}\)
Dấu''='' xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng: 1/a^3+1/b^3+1/c^3+1/d^3 >= 1/a^2b+1/b^2c+1/c^2d+1/d^2a
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca=1.CMR\(a^3+b^3+c^3+6abc\ge a+b+c\)
Cho \(a , b , c \geq 0\) thỏa \(a b + b c + c a = 1\). Chứng minh:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6 a b c \geq a + b + c\)
Giả sử \(c = 0 \Rightarrow a b = 1 , b = \frac{1}{a}\)
\(a^{3} + b^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = \left(\right. a + \frac{1}{a} \left.\right)^{3} - 3 \left(\right. a + \frac{1}{a} \left.\right)\)
Đặt \(x = a + \frac{1}{a} \geq 2\)
\(a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = x^{3} - 3 x \geq x = a + \frac{1}{a} = a + b\)
Vậy bất đẳng thức đúng khi một biến bằng 0.
Nếu \(a = b \neq 0 \Rightarrow a b + b c + c a = a^{2} + 2 a c = 1 \Rightarrow c = \frac{1 - a^{2}}{2 a} \geq 0\)
Thay vào:
\(a^{3} + a^{3} + c^{3} + 6 a^{2} c = 2 a^{3} + c^{3} + 6 a^{2} c \geq 2 a + c\)
Do \(a , c \geq 0\) nên tích các số không âm chứng minh bất đẳng thức đúng.
Vậy với mọi \(a , b , c \geq 0\) thỏa \(a b + b c + c a = 1\), ta có:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6 a b c \geq a + b + c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực a, b, c, d không âm và có tổng là 3. Chứng minh rằng:
\(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{d^3+1}+d\sqrt{a^3+1}\le5\)
cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng:
(a-1)3 +(b-1)3+(c-1)3 >=\(\frac{-3}{4}\)
Cho a,b,c >0 ; a+b+c = 6abc . Chứng minh rằng : \(\frac{bc}{a^3\left(c+2b\right)}+\frac{ac}{b^3\left(a+2c\right)}+\frac{ab}{c^3\left(b+2a\right)}\)≥2
\(a+b+c=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy+xz+yz=6\)
\(P=\sum\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^3}\left(\frac{1}{z}+\frac{2}{y}\right)}=\sum\frac{x^3}{y+2z}=\sum\frac{x^4}{xy+2xz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+xz+yz\right)}\ge\frac{\left(xy+xz+yz\right)^2}{3\left(xy+xz+yz\right)}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)