Lời giải:

Nếu $n$ lẻ thì $n+7$ chẵn

$\Rightarrow (n+4)(n+7)$ chẵn 

Nếu $n$ chẵn thì $n+4$ chẵn

$\Rightarrow (n+4)(n+7)$ chẵn 

Vậy $(n+4)(n+7)$ luôn là số chẵn với mọi $n$

-Ta c/m: Với mọi số tự nhiên n thì \(\left(n+2021\right)^2+2022< \left(n+2022\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2021\right)^2+2022-\left(n+2022\right)^2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2021-n-2022\right)\left(n+2021+n+2022\right)+2022< 0\)

\(\Leftrightarrow-\left(2n+4043\right)+2022< 0\)

\(\Leftrightarrow-2n-4043+2022< 0\)

\(\Leftrightarrow-2n-2021< 0\) (đúng do n là số tự nhiên)

-Từ điều trên ta suy ra:

\(\left(n+2021\right)^2< \left(n+2021\right)^2+2022< \left(n+2022\right)^2\)

-Vậy với mọi số tự nhiên n thì \(\left(n+2021\right)^2+2022\) không là số chính phương.

 

có 2 trường hợp 

nếu n là số chẵn nên n+2 là số chẵn nên tích (n+2) x(n+5) là số chẵn

nếu n là số lẻ thì n+5 là số chẵn nên tích trên là số chẵn

=> (n+2)x(n+5) là số chẵn

Nếu N là số chẵn ta có:                                                                                                                                                     (N+2) chẵn      \(\Rightarrow\left(N+2\right)\left(N+5\right)\)số chẵn (đpcm)Nếu N là số lẻ ta có:                                                                                                                                                         (N+5) chẵn      \(\Rightarrow\left(N+2\right)\left(N+5\right)\)số chẵn (đpcm)

Xét nếu \(a\)lẻ \(\Rightarrow a+5\)là lẻ + lẻ = chẵn

\(\Rightarrow a\left(a+5\right)=\)lẻ . chẵn = chẵn hay \(a\left(a+5\right)⋮2\)

Xét nếu \(a\)chẵn \(\Rightarrow a+5\)là chẵn + lẻ = lẻ

\(\Rightarrow a\left(a+5\right)=\)chẵn . lẻ = chẵn hay \(a\left(a+5\right)⋮2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

+) Nếu n là số tự nhiên lẻ thì n + 4 là số lẻ và n + 7 chẵn .

=> ( n + 4 ) . ( n + 7 ) = lẻ x chẵn là số chẵn .

+) Nếu n là số chẵn thì n + 4 là số chẵn và n + 7 là số lẻ .

=> ( n + 4 ) . ( n + 7 ) = chẵn x lẻ là số chẵn .

Vậy bài toán được chứng minh .