Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)

Với a, b > 0, ta có: 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.

Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi

\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.

\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)

\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)

\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

\(1,\text{Áp dụng Mincopxki: }\\ Q\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2}\ge\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b\)

\(2,\text{Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: }\\ P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{1}=9\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Câu 1

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 2:

\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24

Mọi người giải nhanh giúp mìn với mình sắp kiểm tra T^T

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab=4\Rightarrow a+b\ge2\)

\(P=\dfrac{a^4}{a+ab}+\dfrac{b^4}{b+ab}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b+2ab}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2.2ab}{a+b+2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+3ab}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+1+2}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{2\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2.1}+2}{a+b+2}=\dfrac{a+b+2}{a+b+2}=1\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si: 
$\frac{1}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.a}=2$

$\frac{1}{4b}+b\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b}.b}=1$

$\frac{1}{16c}+c\geq 2\sqrt{\frac{1}{16c}.c}=\frac{1}{2}$

Cộng các BĐT trên lại suy ra:

$M+a+b+c\geq 2+1+\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow M+1\geq 2+1+\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow M\geq \frac{5}{2}$

Vậy $M_{\min}=\frac{5}{2}$

\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2a+b+a+2b}=\frac{4}{3\left(a+b\right)}=\frac{4}{3.16}=\frac{1}{12}\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=8\)