\(-----------\)

Đặt  \(\alpha=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}\)và  \(t=\sqrt{x}\)  \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\alpha>0\\t>0\end{cases}\left(i\right)}\) với mọi  \(x>0\)

Khi đó, ta biểu diễn lại  \(\alpha\)  dưới dạng biến số  \(t\)  như sau:

\(\alpha=\frac{4t^4+9t^2+18t+9}{4t^3+4t^2}=\frac{3\left(4t^3+4t^2\right)+\left(4t^4-12t^3-3t^2+18t+9\right)}{4t^3+4t^2}\)  

nên  \(\alpha=3+\frac{\left(2t^2-3t-3\right)^2}{4t^3+4t^2}\ge0\)  với mọi  \(t>0\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}4t^3+4t^2>0\\2t^2-3t-3\ge0\end{cases}}\)  (do  \(\Delta_t>0\)  )

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi \(2t^2-3t-3=0\) 

Ta thành lập biệt thức  \(D=b^2-4ca\)  với tập xác định của pt là  \(t\in\left(0;\infty\right)\)  như sau:

\(\Delta_t=3^2+4.2.3=33\)

Do đó, ta tính được  \(t_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4};\)  \(t_2=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\)

Nhưng ta chỉ chấp nhận  

  \(t=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\)  (do điều kiện  \(\left(i\right)\) )  làm nghiệm duy nhất của pt.

\(\Rightarrow\)  \(x=\left(\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right)^2=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

\(-----------\)

Mặt khác,  ta lại áp dụng bđt  \(AM-GM\) loại hai cho bộ số với hai số thực không âm gồm  \(\left(\frac{\alpha}{9};\frac{1}{\alpha}\right)\) , ta có:

\(A=\alpha+\frac{1}{\alpha}=\left(\frac{\alpha}{9}+\frac{1}{\alpha}\right)+\frac{8\alpha}{9}\ge2\left(\frac{\alpha}{9}.\frac{1}{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{8.3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\alpha=3\\\frac{\alpha}{9}=\frac{1}{\alpha}\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\alpha=3\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

Vậy,  \(A_{min}=\frac{10}{3}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

Điều kiện x>0

Đặt a = 4x² + 9x + 18 √x +9

b = 4x√x + 4x

Từ đó ta có A = a/b + b/a >= 2

Vậy giá trị nhỏ nhất là A = 2 khi a/b = b/a

Phần còn lại bạn tự làm nha

\(P=\frac{4\left(x-9\right)+36}{\sqrt{x}-3}=\frac{4\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+36}{\sqrt{x}-3}\)

\(P=4\left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{36}{\sqrt{x}-3}=4\left(\sqrt{x}-3\right)+\frac{36}{\sqrt{x}-3}+12\)

\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\frac{4\left(\sqrt{x}-3\right).36}{\sqrt{x}-3}}+12=36\)

\(P_{min}=36\) khi \(\left(\sqrt{x}-3\right)^2=9\Rightarrow x=36\)

Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{yz}}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{xz}}\)

CỘng theo vế 3 BĐT trên có: 

\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

Khi x=y=z

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(..........................\)

\(\frac{1}{\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Cộng theo vế ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{10}=\frac{100}{10}=10\)

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp .

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

tôi mong các bn sẽ ko làm như vậy !!!!!

\(R=\left[\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3\left(\sqrt{x}+3\right)}{x-9}\right]:\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)\)

a/ \(R=\left[\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt[]{x-3}\right)}\right]:\left(\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\right)\)

=> \(R=\left[\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3}{\sqrt[]{x-3}}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

=> \(R=\left[\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+1\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

=> \(R=\left[\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}\right].\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)

=> \(R=\frac{3\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

b/ Để R<-1   => \(\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}< -1\)

<=> \(3\sqrt{x}-3< -\sqrt{x}-1\)

<=> \(4\sqrt{x}< 2\)=> \(\sqrt{x}< \frac{1}{2}\) => \(-\frac{1}{4}< x< \frac{1}{4}\)

Chỗ => R = \(\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+1\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)   là sao vậy ạ?

Thì \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}=1\)

sử dụng phương pháp miền giá trị

bạn nói rõ hơn được không?

1.(√x -2)^2 ≥ 0 --> x -4√x +4 ≥ 0 --> x+16 ≥ 12 +4√x --> (x+16)/(3+√x) ≥4 
--> Pmin=4 khi x=4

2. Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\)1

=> M=2x²-8x+\(\sqrt{x^2-4x+5}\)+6=2(t²-5)+t+6

<=> M=2t²+t-4\(\ge\)2.1²+1-4=-1

M_min=-1 khi t=1 hay x=2