Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)})^2\leq [c+(b-c)][(a-c)+c]=ab$

$\Rightarrow \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2c$

Bài 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ab-b})^2\)

\(\leq (a+b)(ab-a+ab-b)=(a+b)(2ab-a-b)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a+b)(2ab-a-b)\leq \left(\frac{a+b+2ab-a-b}{2}\right)^2=(ab)^2$

Do đó:

$(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2\leq (ab)^2$

$\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$

Lời giải:

Ta có:

\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left[\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right]^2\)

Đặt $a+1=t(t\neq 0)$ thì:

$A=t^2+(\frac{t^2+1}{t})^2=t^2+(t+\frac{1}{t})^2$

$=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\geq 2\sqrt{2t^2.\frac{1}{t^2}}+2=2\sqrt{2}+2$ theo BĐT AM-GM

Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$

Giá trị này đạt được khi $t=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}$

$\Leftrightarrow a=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}-1$

hi kết bạn nha

Ta chứng minh: \(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)

Thật vậy, ta có:

\(a+bc\ge a^2+2a\sqrt{bc}+bc\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\)(Đúng theo Cauchy)

Tương tự: \(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)

\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh ta được đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

c=c.1 thay 1 bằng a+b+c xong cô si

các bạn giúp mình nha càng nhanh càng tốt

Chờ mình nhé 

\(A=\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\)

\(\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\)\(=\left(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{c}.\sqrt{b-c}\right)^2\)

\(\Rightarrow A^2\le\left(c+b-c\right)\left(c+ a-c\right)\left(\text{ Bunhiacopxki}\right)\)

\(\Rightarrow A^2\le ab\Leftrightarrow A\le\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)

\(\)

Trả lời hộ mình đi