Xét tứ giác QPCM có

A là trung điểm chung của QC và PM

=>QPCM là hình bình hành

=>PQ//BC

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

=>AH vuông góc PQ

2 + 2 chắc chắn sẽ bằng 5

Cho cái hình, ch bt lm nha

Câu hỏi của Diệp Song Thiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo link này nhé!

Đề còn thiếu thì phải, điểm M ở đâu ?

Bổ sung: "Đường thẳng qua A vuông góc với PF cắt tia CF tại M ..."

Giải: Gọi D là trực tâm tam giác ABC. PE cắt AN tại Q

Dễ thấy: ^ADE = ^ACB (Cùng phụ ^DAC) (1)

\(\Delta\)BEC vuông tại E có trung tuyến EP => ^PEC = ^ECP = ^ACB

Mà ^PEC = ^ AEQ = ^ANE (Do ^AEQ và ^ANE cùng phụ ^QEN) => ^ANE = ^ACB (2)

Từ (1) và (2) => ^ADE = ^ANE => AE là phân giác ^DAN 

Xét \(\Delta\)ADN có: phân giác AE; AE vuông góc DN (tại E) => \(\Delta\)ADN cân tại A

=> E là trung điểm DN => GE là đường trung bình \(\Delta\)CDN => GE // CD

Lại có: CD vuông góc AB => GE vuông góc AB hay EH vuông góc AF

Tương tự ta c/m được FH vuông góc với AE

Trong \(\Delta\)AEF có: EH vuông góc AF và FH vuông góc AE 

Nên H là trực tâm \(\Delta\)AEF => AH vuông góc với EF (ĐPCM).

Từ chỗ ^ADE = ^ANE suy ra tam giác DAN cân tại A luôn nhé. Vừa nãy mình nhìn nhầm :(

a) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\KC\perp AC\end{matrix}\right.\)       ⇒ \(BH\text{//}KC\) 

\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BK\perp AB\end{matrix}\right.\)       ⇒ \(CH\text{//}BK\)

\(Xét\) \(tứ\) \(giác\) \(BKCH\) \(có:\) \(\left\{{}\begin{matrix}BH\text{//}KC\\CH\text{//}BK\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác \(BKCH\) là hình hình hành. Mà M là trung điểm của đường chéo BC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}H,M,K_{ }thẳng_{ }hàng\\HM=MK\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta AHK\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=IK\left(gt\right)\\HM=MK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)

⇒ \(IM=\dfrac{1}{2}AH\)              \(\left(ĐPCM\right)\)

c)

Ta có:

\(\dfrac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HD.BC}{\dfrac{1}{2}.AD.BC}=\dfrac{HD}{AD}\)  

\(\dfrac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HE.AC}{\dfrac{1}{2}.BE.AC}=\dfrac{HE}{BE}\)

\(\dfrac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HF.AB}{\dfrac{1}{2}.CF.AB}=\dfrac{HF}{CF}\)

⇒ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{\Delta HBC}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\)

⇔ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)          \(\left(ĐPCM\right)\)