Đặt DE = x thì CE = 1 - x thì CF = CE = 1 - x , AE ² = x² + 1

Từ CE² + CF²  = EF² , ta có 2 ( 1 - x ) ² = x² + 1.

 Đưa về phương trình

x²  - 4x + 4 = 3 <=> (x-2)² = 3 <=> x = 2 +- \(\sqrt{3}\)

^{Do x < 1 nên ta chọn x = 2 -\(\sqrt{3}\)}

EF = ( 1 - x ) \(\sqrt{2}\)= (\(\sqrt{3}\)- 1 )\(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{6}\)- \(\sqrt{2}\)(dm)

Có: \(\Delta ADE=\Delta ABF=CF=CE\)

Lại có: \(\hept{\begin{cases}2CF^2=EF^2\\\left(1-CF\right)^1+1=EF^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow EF\)

Xét △ABF và △ADE có:

∠ABC=∠ADE (=90^o), AD=AB (ABCD là hcn), AE=AF (△AEF đều)

=> △ABF = △ADE (ch - cgv)

=> ∠BAF=∠DAE=(90-60)/2=15^o

=> AFB=75^o

=> AF=1/sin 75 =\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) dm

a, Ta có ∆ABE = ∆ADF(g.c.g) => AE = AF

b, Ta có: ∆AKF ~ ∆CAF ( F ^ chung và  F A K ^ = F C A ^ = 45 0 )

=> A F H F = C F A F =>  A F 2 = K F . C F

c, S A E F = 93 2 c m 2

d, Ta có: AE.AJ=AF.AJ=AD.FJ

=>  A E . A J F J = AD không đổi

Vì AE=AD (gt)

=> tam giác AED cân tại A

Xét tam giác AED cân tại A có:

gócAED=(180độ-gócA):2

Vì CE=CF (gt)

=> tam giác CEF cân tại C

Xét tam giác CEF có:

gócCEF=(180độ-gócC):2

Ta có: gócAED + góc DEC=180độ (2 góc kề bù)

Mà gócDEF + góc CEF= góc DEC

=> góc AED + gócDEF + gócCEF=180độ

=> (180độ - gócA):2+(180độ - gócC):2+gócDEF=180độ

=>(180độ - gócA + 180độ - gócC):2+gócDEF=180độ

Mà gócA + gócC=90độ (tam giác ABC vuông tại B)

=>(360độ - 90độ):2+góc DEF=180độ

=>135độ + gócDEF =180độ

=>gócDEF=45độ

hình bạn tự vẽ nha và mình ko viết đc kí hiệu nên mong bạn thông cảm hihi