I thuộc BC và 2CI = 3IB ⇒ 2.↑CI + 3.↑BI = ↑0 
5.↑AI = 2.↑AI + 3.↑AI = 2(↑AC + ↑CI) + 3(↑AB + ↑BI) = 2.↑AC + 3.↑AB 
⇒ ↑AI = (2/5).↑AC + (3/5).↑AB 

F thuộc BC kéo dài và 5FB = 2FC ⇒ 5.↑BF - 2.↑CF = ↑0 
3.↑AF = 5.↑AF - 2.↑AF = 5(↑AB + ↑BF) - 2(↑AC + ↑CF) = 5.↑AB - 2.↑AC 
⇒ ↑AF = (5/3).↑AB - (2/3).↑AC 

cho tam giác ABC.gọi I là trung điểm cạnh BC sao cho 2CI=3BI .gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB=2FCtính AI,AF theo AB và AC

I thuộc BC và 2CI = 3IB ⇒ 2.↑CI + 3.↑BI = ↑0 
⇒ ↑AI = (2/5).↑AC + (3/5).↑AB 
F thuộc BC kéo dài và 5FB = 2FC ⇒ 5.↑BF - 2.↑CF = ↑0 
⇒ ↑AF = (5/3).↑AB - (2/3).↑AC 

\(5\overrightarrow{JB}=2\overrightarrow{JC}=2\left(\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{BC}\right)=2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{JB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{BJ}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\)

Bài 1: 

Gọi M là trung điểm của AD

\(BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\)

\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}\right|=2\cdot BM=\sqrt{17}a\)

a)  là điểm trên cạnh  mà: ⇒BICI+BI=23+2⇒BIBC=25⇒BICI+BI=23+2⇒BIBC=25

IC=35BCIC=35BC

 là điểm trên  kéo dài: ⇒JBJC−JB=25−2⇒JBBC=23⇒JBJC−JB=25−2⇒JBBC=23

BC=35JCBC=35JC

→AB=→AI+→IBAB→=AI→+IB→

=→AI−25.32→JB=AI→−25.32JB→

=→AI−35(→JA+→AB)=AI→−35(JA→+AB→)

⇒→AB+35→AB=→AI+35→AJ⇒AB→+35AB→=AI→+35AJ→

=→AI+35→BC=AI→+35BC→

=→AI+925(→JA+→AC)=AI→+925(JA→+AC→)

⇒→AC=2516→AI−916→AJ⇒AC→=2516AI→−916AJ→

→AC=2516→AI−916→AJAC→=2516AI→−916AJ→

Trừ vế với vế ta có:

⇒→AJ=53→AB−23→AC

Xét ΔBAD có BI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)

=>\(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{6}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{5}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

=>\(\overrightarrow{BI}=\dfrac{5}{6}\cdot\overrightarrow{BM}\)

=>B,I,M thẳng hàng

Cách 1: Dùng định lý Menelaus đảo:

Từ đề bài, ta có \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{IA}{ID}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}.\dfrac{MC}{MA}.\dfrac{IA}{ID}=1\)

Theo định lý Menelaus đảo, suy ra B, I, M thẳng hàng.

Cách 2: Dùng vector

 Ta có \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) 

\(=\dfrac{1}{6}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

Lại có \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{MC}{AC}\overrightarrow{BA}+\dfrac{MA}{AC}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{6}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{BI}\)

Vậy \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{BI}\), suy ra B, I, M thẳng hàng. 

Lười đánh máy nên luyện chữ :))