Đặt:

\(A=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:

\(A^2=\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)=21\)

Hay \(A\le\sqrt{21}\left(đpcm\right)\)

Rảnh quá ủng hộ cách khác nè =))

Áp dụng Cô-si có:

\(\sqrt{4a+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le\dfrac{4a+1+\dfrac{7}{3}}{2}=2a+\dfrac{5}{3}\)

Tương tự vs 2 bđt còn lại: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4b+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le2b+\dfrac{5}{3}\\\sqrt{4c+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le2c+\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

Cộng 2 vế của 3 bđt trên có:

\(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)\le2\left(a+b+c\right)+5=7\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{21}\)

Hoàn tất chứng minh

Unruly KidNguyễn Huy TúNguyễn Huy Thắng

Đề bài thiếu, chắc chắn phải có thêm 1 dữ kiện khác

Ví dụ, bạn cho \(a=b=c=1000\) sẽ thấy BĐT sai

Bài 1:

Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)

Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có:

\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)

Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)

Cộng lại ta được:

\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

Sau đó bình phương hai vế rồi

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng

Vậy...

Bài 2:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)

Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau: 

\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)

\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)

Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)

Từ đó ta có:

\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)

Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có 

\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c 

c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D

- Ôi má ơi, má patient dử dậy :)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)}\) \(=\sqrt{3.\left(4.3+3\right)}=\sqrt{3.15}=3\sqrt{5}\)

\(\text{Dấu ''='' xảy ra }\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

\(VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)\)

\(=3\left(4\left(a+b+c\right)+3\right)\)

\(=3\left(4+3\right)=21< 25=VP^2\)

Suy ra VT<VP---> đúng

Ta có

\(\sqrt{2}\sqrt{4a+1}\le\frac{4a+3}{2}\)

\(\sqrt{2}\sqrt{4b+1}\le\frac{4b+3}{2}\)

\(\sqrt{2}\sqrt{4c+1}\le\frac{4c+3}{2}\)

\(\sqrt{2}\sqrt{4d+1}\le\frac{4d+3}{2}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\sqrt{2}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}\right)\)

\(\le8\)

<=> \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\sqrt{4d+1}\le4\sqrt{2}\)

áp dụng bất đẳng thức: (a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2): 
[√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)]^2 
<= 3[4(a+b+c)+3]=21<25 
=>√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)<5

cosi : \(\sqrt{4a+1}\)\(\sqrt{1}\)<\(\frac{4a+1+1}{2}\)= 2a + 1. tương tự  \(\sqrt{4b+1}\)\(\sqrt{1}\)<\(\frac{4b+1+1}{2}\)= 2b + 1;  \(\sqrt{4c+1}\)\(\sqrt{1}\)<\(\frac{4c+1+1}{2}\)= 2c + 1. Nên VT < 2(a+b+c) +3 = 5. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c = 1/3

\(A\le\frac{1}{27}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^3\)

Mặt khác :

\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{3\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]}\)

\(=3\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{27}\left(3\sqrt{5}\right)^3=5\sqrt{5}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

hay