a: Xét ΔABH và ΔCDG có

AB=CD

góc ABH=góc CDG

BH=DG

DO đó: ΔABH=ΔCDG

Suy ra: AH=CG

Xét ΔADG và ΔCBH có

AD=CB

góc ADG=góc CBH

DG=BH

Do đo: ΔADG=ΔCBH

Suy ra: AG=CH

Xét tứ giác AGCH có

AG=CH

AH=CG

Do đó: AGCH là hình bình hành

b: Xét ΔBGC có HM//GC

nên HM/GC=BH/BG=1/2

=>HM=1/2GC

mà GC=AH

nên HM=1/2AH

hay AH=2HM

a, Dễ cm: \(\Delta ADH=\Delta CBG\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow AH=GC\) (1)

Và góc AHD = góc CGB \(\Rightarrow\) góc AHG = góc CGH

mà 2 góc này ở vị trí so le trong \(\Rightarrow AH//GC\) (2)

(1); (2) suy ra điều phải chứng minh

b, Do \(AGCH\) là hình bình hành (câu a)

suy ra AH = GC

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}DH=DG\left(gt\right)\\HM//GC\left(AH//GC\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow MH\) là đường trung bình \(\Delta DGC\)

\(\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}GC\)

Mà AH=GC (cmt) \(\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow2MH=AH\left(đpcm\right)\)

Bài 3:

a: Ta có: AD+DB=AB

AE+EC=AC

mà DB=EC và AB=AC

nên AD=AE

Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

nên DE//BC

Xét tứ giác BDEC có DE//BC

nên BDEC là hình thang

Hình thang BDEC có \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

nên BDEC là hình thang cân

b: Để BD=DE=EC thì BD=DE và DE=EC

BD=DE thì ΔDBE cân tại D

=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)

mà \(\widehat{DEB}=\widehat{EBC}\)(hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\widehat{DBE}=\widehat{EBC}\)

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}\)

=>BE là phân giác của góc ABC

=>E là chân đường phân giác kẻ từ B xuống AC

Xét ΔEDC có ED=EC

nên ΔEDC cân tại E

=>\(\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\)

mà \(\widehat{EDC}=\widehat{DCB}\)(hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\widehat{ECD}=\widehat{DCB}\)

=>\(\widehat{ACD}=\widehat{BCD}\)

=>CD là phân giác của góc ACB

=>D là chân đường phân giác từ C kẻ xuống AB

Bài 2:

a: Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AB//CD và AB=CD(1)

Ta có: M là trung điểm của AB

=>\(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)

Ta có: N là trung điểm của CD

=>\(NC=ND=\dfrac{CD}{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra AM=MB=NC=ND

Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: Ta có AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

Xét ΔDFC có

N là trung điểm của DC

NE//FC

Do đó: E là trung điểm của DF

=>DE=EF(4)

Xét ΔABE có

M là trung điểm của BA

MF//AE

Do đó: F là trung điểm của BE

=>BF=FE(5)

Từ (4) và (5) suy ra BF=FE=ED

Gọi O là trung điểm của AC và GH

Chứng minh tam giác HAO = tam giác COG --> HO = OG --> O là trung điểm của HG

Xét hình bình hành ABCD: AC và BD là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và O là trung điểm của AC

--> O là trung điểm của BD

mà O là trung điểm của HG

Nên AC ; GH ; BD đồng quy