Lời giải:

$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{CM}$ là 2 vector đối nhau.

$I$ là trung điểm $AM$ nên $-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IM}$

Từ đây ta có:

$-2\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IM}=(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CM})=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})$

$=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

(đpcm)

Hình vẽ:

a) \(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}\). Từ đó suy ra cách dựng điểm I:

b) Với cách lấy điểm I như trên, ta có điểm I cố định. Khi đó MN đi qua I, thật vậy:

\(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\)

\(=2\overrightarrow{MI}+\left(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=2\overrightarrow{MI}\)

Suy ra I là trung điểm MN hay MN đi qua điểm I cố định (đpcm).

c) \(\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MC}\)

Đặt K là điểm sao cho \(\overrightarrow{KA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\hept{\begin{cases}K\in\left[AC\right]\\KA=\frac{1}{2}KC\end{cases}}\)tức K xác định

Khi đó \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MK}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MK}\), suy ra MP đi qua K cố định (đpcm).

\(\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)

Lời giải:

Ta biết một vài tính chất của hình bình hành có tâm $O$:

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=0\)

a) Ta có:

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{ID}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{IO}+4\overrightarrow{OD}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{IO}+4\overrightarrow{OD}\Leftrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{IO}+3\overrightarrow{OD}\)

\(\Leftrightarrow{DB}-3\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{IO}\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{DO}-3\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{IO}\)

\(\Leftrightarrow 5\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{IO}\)

Do đó điểm $I$ nằm trên đường thẳng $DO$ sao cho $IO=5DO$

b)

\(2\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{FD}\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{FO}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{FO}+3\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OD})\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=0\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+5\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0\)

Lấy điểm $I$ thỏa mãn \(5\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{FO}+5\overrightarrow{OI}+5\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}=0\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+6\overrightarrow{OI}=0\Rightarrow \overrightarrow {OF}=3\overrightarrow {OI}\)

Điểm I thỏa mãn nằm trên đoạn $AB$ sao cho $5IA=IB$

Điểm F thỏa mãn nằm trên đường thẳng $OI$ sao cho $OF=3OI$ và I nằm giữa $OF$

c)

\(4\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=0\)

\(\Leftrightarrow 4\overrightarrow{KO}+4\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{KO}+3\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{KO}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OD}=0\)

\(\Leftrightarrow 10\overrightarrow{KO}+2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0\)

\(\Leftrightarrow 5\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0\)

Lấy $I$ là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)

\(\Rightarrow 0=5\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}\)

\(\Leftrightarrow 0=5\overrightarrow{KO}+2\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow 5\overrightarrow{OK}=2\overrightarrow{OI}\)

Do đó điểm K nằm trên đoạn thẳng OI sao cho $5OK=2OI$

giúp mình nhá mình cần ngay cảm ơn mọi người

bn vt lại đb ik, thiếu nhiều dữ kiện quá