Gọi a/b với a > 0, b > 0 là phân số đã cho và b/a là phân số nghịch đảo của nó . Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.

Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)

Ta có:

Và  (dấu "=" xảy ra khi m = 0)

Suy ra: 

Từ (1) và (2) suy ra:

, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )

a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)

Theo bài ra, ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì (a-b)² chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

                                Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

gọi p/s đó là a/b (a;b \(\in\) Z,b \(\ne\) 0)

Ta cần c/m \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Nhân cả 2 vế cho ab,ta đc:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (dấu "=" xảy ra <=>a=b0

BĐT cuối luôn đúng,ta có đpcm

Gọi phân số dương là \(\frac{a}{b}\).Không mất tích tổng quát giả sử a>0,b>0 và a\(\ge\) b.Ta có thể viết a=b+m(m\(\ge\) 0).Ta có;

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{m+b}\)

=\(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{m+b}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)

=\(1+\frac{m+b}{b+m}=2\)

Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Gọi p/s đó là : a/b ( vs mọi a:b \(\in\) N* ) 

Theo bài ra ta có : 

a/b + b/a = \(\frac{2a+2b}{ab}\) = \(\frac{2\left(a+b\right)}{ab}\)

Vậy  tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

ko bik

Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là: \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)

Do phân số dương nên( a;b) cùng dấu hay a.b>0

Ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)

Do đó: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)

Do phân số dương nên \(a;b\)cùng dấu hay \(a.b>0\)

Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)

Do đó \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Đúng rùi

Gọi phân số dương là \(\frac{a_1}{a_2}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a_1\ge a_2>0\). Ta có thể viết \(a_1=a_2+m\)\(\left(m\inℕ\right)\). Ta có:
\(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_2+m}{a_2}+\frac{a_2}{a_2+m}=1+\frac{m}{a_2}+\frac{a_2}{a_2+m}\ge1+\frac{m}{a_2+m}+\frac{a_2}{a_2+m}=1+\frac{m+a_2}{a_2+m}=2\)
Vậy \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}\ge2\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a_1=a_2\)\(\left(m=0\right)\).

Gọi phân số dương là \(\dfrac{a}{b}\) . ( Không mất tính tổng quát )

Cho \(a>0,\) \(b>0\) và \(a\ge b\) . Ta có thể viết \(a=b+m\left(m\ge0\right)\) .

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=2\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b\left(m=0\right)\)

Gọi a/b với a > 0, b > 0 là phân số đã cho và b/a là phân số nghịch đảo của nó . Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.

Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)

Ta có:

Và (dấu "=" xảy ra khi m = 0)

Suy ra:

Từ (1) và (2) suy ra:

, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )

Giả sử phân số nghịch đảo của \(\frac{a}{b}\)là\(\frac{b}{a}\)

Do đây là phân số dương nên a,b>0

Ta có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)-2=

 Gọi phân số đó là a/b (ĐK: a,b # 0, a và b cùng dấu ) 
a/b + b/a ≥ 2 <=> (a² + b ²)/ab ≥ 2 
<=> a² - 2ab + b² ≥ 0 
<=> ( a – b )² ≥ 0 ( Luôn đúng với mọi a, b) 
=> Đpcm 

 

mk giải đc nè, tick mk nha!!

Gọi phân số  dương là a/b. Ko mất tính tổng quát, giả sử như: a>0, b>0 và a  > b. Ta có thể viết a=b+m ( m > 0). Ta có:

a/b+b/a=b+m/b+b/m+b=1+m/b+b/b+m >  1+ m/b+m+b/b+m=1+m+b/b+m=2.

Vậy a/b+b/a > 2.

Gọi phân số dương là a/b. Không mất tính tổng quát, giả sử a>0, b>0 và a\(\ge\)b. Ta có thể viết a=b+m (m\(\ge\)0). Ta có:

(a/b)+(b/a)=b/(b+m)\(\ge\)1+[m/(b+m)]+[b/(b+m)]=1+[(m+b)/(b+m)]=2.

Vậy (a/b)+(b/a)=2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b (m=0).