Ta có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\)nên:

\(\Rightarrow a+b+c< a+b+c+d\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

Và: \(\frac{c}{a+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

Và: \(\frac{d}{b+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Lại có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\) nên:

\(\Rightarrow a+b+c>a+b\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b}{a+b}\)

Và: \(\frac{c}{a+c+d}< \frac{c}{c+d}\)

Và: \(\frac{d}{b+c+d}< \frac{d}{c+d}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2\)

Vậy \(1< M< 2\) nên \(M\) không phải số tự nhiên.

Lời giải:

Gọi biểu thức đã cho là $A$

Với mọi $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{a}{a+b+c}> \frac{a}{a+b+c+d}$

$\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}> \frac{c}{a+b+c+d}$

$\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}$

Cộng theo vế:

$D> \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$ hay $D>1(*)$

Mặt khác:

Xét $\frac{a}{a+b+c}-\frac{a+d}{a+b+c+d}=\frac{-d(b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với mọi $a,b,c,d>0$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}$
Tương tự:

$\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{c+d+a+b}$

$\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{d+a+b+c}$

Cộng theo vế:

$A< \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$ hay $A< 2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không phải số tự nhiên.

Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

           \(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+d+c+d}\)

            \(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

             \(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+b+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 1\)    (1)

Lại có: \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+c}{a+b+c+d}\)

           \(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+d}{a+b+c+d}\)

            \(\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+a}{a+b+c+d}\)

            \(\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+c}{a+b+c+d}+\frac{b+d}{a+b+c+d}+\frac{c+a}{a+b+c+d}+\frac{d+b}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)        (2)

Từ (1)(2) => \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)   (đpcm)

chứng minh 1< M < 2 là được M ko phải là STN

\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{b+c+d}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Chứng minh tương tự để từ đó 

=>M<2

Vậy 1<M<2

=> M ko là số tự nhiên

Đặt  \(S=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+c}\)

\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b}{b+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}< \frac{c}{a+c}\)

\(\frac{d}{d+a+b}< \frac{d}{d+b}\)

\(\Rightarrow S< \left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\left(\frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}\right)\)

\(\Rightarrow S< 2\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{b+c+a+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow S>1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrowđpcm\)

nhanh the