Question

Cho a, b, c, d ∈ N* . Chứng tỏ rằng giá trị của M = \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\) không phải là số tự nhiên.

Answer 1

Lời giải:

Gọi biểu thức đã cho là $A$

Với mọi $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{a}{a+b+c}> \frac{a}{a+b+c+d}$

$\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}> \frac{c}{a+b+c+d}$

$\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}$

Cộng theo vế:

$D> \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$ hay $D>1(*)$

Mặt khác:

Xét $\frac{a}{a+b+c}-\frac{a+d}{a+b+c+d}=\frac{-d(b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với mọi $a,b,c,d>0$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}$
Tương tự:

$\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{c+d+a+b}$

$\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{d+a+b+c}$

Cộng theo vế:

$A< \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$ hay $A< 2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không phải số tự nhiên.