Nội dung lý thuyết
Xét tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\). Gọi giá trị chung của tỉ số đó là \(k\), ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\quad\left(1\right)\)
Suy ra \(a=kb;c=kd.\)
Ta có
\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{kb+kd}{b+d}=\dfrac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\quad\left(2\right)\quad\left(b\ne-d\right)\)
\(\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{kb-kd}{b-d}=\dfrac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k\quad\left(3\right)\quad\left(b\ne d\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta có tính chất sau:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\qquad\left(b\ne d;b\ne-d\right)\)
Từ đó, ta cũng có thể suy ra: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{c-a}{d-b}\).
Ví dụ: Ta có \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2+4}{3+6}=\dfrac{2-4}{3-6}=\dfrac{4-2}{6-3}\). Ta hoàn toàn có thể kiểm chứng kết quả này là đúng.
Chứng minh theo cách hoàn toàn tương tự, ta có thể mở rộng tính chất trên cho một dãy tỉ số bằng nhau:
Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}\), ta có thể suy ra:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{a-c+e}{b-d+f}...\)
Lưu ý: Tính tương ứng về vị trí và về dấu giữa tử và mẫu của cùng một tỉ số trong tỉ số mới tạo thành.
Ví dụ: Ta có \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{0,4}{1,2}=\dfrac{0,25}{0,75}=\dfrac{1+0,4+0,25}{3+1,2+0,75}=\dfrac{1,65}{4,95}.\)
Chú ý: Chẳng hạn, khi có dãy tỉ số \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}\), ta nói các số \(a,b,c\) tỉ lệ với các số \(3;4;5\) và viết là \(a:b:c=3:4:5\).
Ví dụ: Số học sinh của 3 lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với \(8;9;10\). Khi đó, gọi số học sinh mỗi lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a,b,c\) (học sinh). Ta có thể viết:
\(a:b:c=8:9:10\)
hay \(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{9}=\dfrac{c}{10}.\)
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau được áp dụng dưới dạng các bài toán trực quan và thực tế, chẳng hạn các ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1:
a) Tìm hai số \(a,b\) biết \(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}\) và \(a+b=18\).
b) Tìm ba số \(a,b,c\) biết chúng tỉ lệ với \(4;5;7\) và \(a+b-c=6\).
Lời giải:
a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{a+b}{4+5}=\dfrac{18}{9}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2.4=8\\b=2,5=10\end{matrix}\right..\)
Vậy \(a=8;b=10.\)
b) Ta có \(a:b:c=4:5:7\Rightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}=\dfrac{a+b-c}{4+5-7}=\dfrac{6}{2}=3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3.4=12\\b=3.5=15\\c=3.7=21\end{matrix}\right..\)
Vậy \(a=12;b=15;c=21.\)
Ví dụ 2: Ba bạn An, Bình, Chi sưu tập tem. Số tem của mỗi bạn An, Bình, Chi tỉ lệ với \(3;5;7\). Biết Bình có ít hơn Chi 10 con tem. Hãy tìm số tem của mỗi bạn?
Lời giải:
Gọi số tem của mỗi bạn An, Bình, Chi lần lượt là \(a,b,c\) (\(a,b,c\in N\)).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a:b:c=3:5:7\\c-b=10\end{matrix}\right.\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{7}=\dfrac{c-b}{7-5}=\dfrac{10}{2}=5\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5.3=15\\b=5.5=25\\c=5.7=35\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).
Vậy số tem của các bạn An, Bình, Chi lần lượt là \(15;25;35\) con tem.
Ví dụ 3:
a) Tìm các số \(x,y,z\) biết chúng tỉ lệ với \(3;8;5\) và \(3x+y-2z=14\).
b) Tìm các số \(x,y,z\) biết \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{6};\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{7}\) và \(x+y-z=69\).
Lời giải:
a) Theo giả thiết, ta có: \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow\dfrac{3x}{9}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{2z}{10}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{3x}{9}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{2z}{10}=\dfrac{3x+y-2z}{9+8-10}=\dfrac{14}{7}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{5}=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2.3=6\\y=2.8=16\\z=2.5=10\end{matrix}\right..\)
Vậy \(x=6;y=16;z=10.\)
b) Theo giả thiết ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{6}\\\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{7}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{24}\\\dfrac{y}{24}=\dfrac{z}{21}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{24}=\dfrac{z}{21}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{24}=\dfrac{z}{21}=\dfrac{x+y-z}{20+24-21}=\dfrac{69}{23}=3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3.20=60\\y=3.24=72\\z=3.21=63\end{matrix}\right..\)
Vậy \(x=60;y=72;z=63.\)
Nhận xét:
+) Trong các bài toán thực tế, để có dãy tỉ số bằng nhau, ta cần đặt ẩn cho các đại lượng và chú ý đến điều kiện của ẩn.
+) Trong một số bài toán, ta cần biến đổi một số tỉ số để có thể xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện thỏa mãn đề bài.