Bài 12: Số thực

1. Số thực

Trong các bài học trước, ta đã được tìm hiểu về các loại số khác nhau, chia thành hai tập hợp: 

+) Tập hợp số hữu tỉ \(Q\).

+) Tập hợp số vô tỉ \(I\).

Các số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Ví dụ: \(1,23;\dfrac{5}{14};-7;\sqrt{3};2,\left(34\right);...\) là các số thực.

Kí hiệu: Ta kí hiệu tập hợp số thực bởi chữ \(R\).

Như vậy, ta có: 

\(R=Q\cup I\)

Ta đã biết, bản thân tập hợp số hữu tỉ cũng chứa các tập hợp số nhỏ hơn như số tự nhiên \(N\), số nguyên \(Z\), số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Từ đó, ta có sơ đồ biểu diễn mối quan hệ giữa các tập hợp số như sau:

Tính chất: Với hai số thực \(x,y\) bất kì, ta luôn có hoặc \(x< y\), hoặc \(x=y\), hoặc \(x>y\).

Do tập hợp số thực bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ nên ta nói: Nếu \(a\) là số thực thì \(a\) được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn.

Khi đó, để so sánh hai số hữu tỉ, ta so sánh tương tự như hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.

Ví dụ: 

a) So sánh hai số \(\dfrac{40}{33}\) và 1,212355.

Ta có \(\dfrac{40}{33}=1,\left(21\right)=1,212121...\)

Bây giờ ta đi so sánh hai số \(1,212121...\) và \(1,212355\).

Dễ thấy, phần nguyên và các chữ số thập phân thứ nhất, thứ hai, thứ ba ở cả hai số là như nhau.

Xét chữ số thập phân thứ tư, ta có: \(1< 3\), do đó \(1,212121...< 1,212355\).

Vậy \(\dfrac{40}{33}< 1,212355\).

b) So sánh hai số \(-0,\left(63\right)\) và \(-\dfrac{7}{12}\).

Ta có: \(-\dfrac{7}{12}=-0.58\left(3\right)=-0,583333...\); \(-0,\left(63\right)=-0,636363...\)

Ta sẽ so sánh hai số \(0,583333...\) và \(0,636363...\)

Dễ thấy: hai số có phần nguyên giống nhau, chữ số thập phân thứ nhất \(5< 6\) nên \(0,583333...< 0,636363...\)

\(\Rightarrow-0,58\left(3\right)>-0,\left(63\right)\)

Vậy \(-\dfrac{7}{12}>-0,\left(63\right).\)

Chú ý: Với hai số thực \(a,b\) dương, ta có: Nếu \(a>b\) thì \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\).

2. Trục số thực

Ở bài trước ta đã biết: \(\sqrt{2}\) là độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1. 

Nhờ đó, ta sẽ biểu diễn điểm \(\sqrt{2}\) trên trục số như sau:

Rõ ràng \(\sqrt{2}\) không phải một số hữu tỉ, mà là một số vô tỉ.

Điều này cho thấy: Không phải mỗi điểm trên trục số đều là số hữu tỉ, nghĩa là các số hữu tỉ không thể lấp đầy được trục số.

Người ta chứng minh được rằng:

• Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
• Ngược lại, mỗi điểm trên trục số biểu diễn một số thực.

Như vậy, các điểm biểu diễn số thực sẽ lấp đầy trục số. Do đó, người ta còn gọi trục số là trục số thực.

Chú ý: Trong tập hợp số thực cũng có các phép toán với các tính chất tương tự như các phép toán trong tập hợp số hữu tỉ.

Ta có thể dùng tính chất này trong các bài toán tính giá trị biểu thức, tìm \(x\) trên tập hợp số thực.

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức \(M=-5,13:\left(5\dfrac{5}{28}-1\dfrac{8}{9}.1,25+1\dfrac{16}{63}\right)\).

Ta có \(M=-5,13:\left(5\dfrac{5}{28}-1\dfrac{8}{9}.1,25+1\dfrac{16}{63}\right)\)

\(=-5,13:\left(\dfrac{145}{28}-\dfrac{17}{9}.\dfrac{125}{100}+\dfrac{79}{63}\right)\)

\(=-5,13:\left(\dfrac{145}{28}-\dfrac{85}{36}+\dfrac{79}{63}\right)\)

\(=-5,13:\left(\dfrac{1305}{252}-\dfrac{595}{252}+\dfrac{316}{252}\right)\)

\(=-5,13:\dfrac{57}{14}\)

\(=-5,13.\dfrac{14}{57}=-1,26.\)

Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(3,2.x-1,8.x=3\dfrac{1}{4}\).

Ta có \(3,2.x-1,8.x=3\dfrac{1}{4}\)

\(\left(3,2-1,8\right).x=\dfrac{13}{4}\)

\(1,4.x=\dfrac{13}{4}\)

\(x=\dfrac{13}{4}:1,4\)

\(x=\dfrac{13}{4}:\dfrac{7}{5}\)

\(x=\dfrac{65}{28}.\)