Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc avf a + b + c = 1 . CMR : (a-1)(b-1)(c-1) = 0
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm GTNN của:
\(T=\dfrac{bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{ca}{b^2c+b^2a}+\dfrac{ab}{c^2a+c^2b}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(T=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
\(\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}\) (theo BĐT AM-GM)
Vậy $T_{\min}=\frac{3}{2}$.
Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.
CMR:\(\dfrac{a}{ab+1}+\dfrac{b}{bc+1}+\dfrac{c}{ca+1}\ge\dfrac{3}{2}\)
Do \(abc=1\Rightarrow\) đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(VT=\dfrac{xz}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{x\left(y+z\right)}=\dfrac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(xy\right)^2}{xyz\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xyz\left(y+z\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{3xyz\left(x+y+z\right)}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=1\)
cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a^2+b^2+c^2=1.cm abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)>=0
Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)
Cần C/m:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
Ta có:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)
=> ĐPCM
Bấm vào câu hỏi tương tự
hoặc lên Học24h
cho a,b,c là 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=1 cmr (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) la mot so chinh phuong
giúp tớ với
cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện a+b+c=1
chứng minh\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\ge\frac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT cho 2 số dương:
\(\frac{1}{\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Xét: c + 1 = c + a + b + c
\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}\le\frac{ab}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự:
\(\frac{bc}{\left(a+1\right)}\le\frac{bc}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+a\right)}\right]\)
\(\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{ac}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+b\right)}+\frac{1}{\left(c+b\right)}\right]\)
Cộng lại:
\(\frac{ac}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{1}{4}\left\{\frac{ab}{\left(a+c\right)}+\frac{ab}{\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)}\right\}\)
Cộng lại + rút gọn mẫu số
\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi a = b = c
P/s: Sai đâu bạn sửa nhé!
Cho \(P=\dfrac{1}{3+2a+b+ab}+\dfrac{1}{3+2b+c+bc}+\dfrac{1}{3+2c+a+ca}\)
với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
\(a+b+c+ab+bc+ca+abc=0\)
xin lỗi, mình đánh thiếu. Chứng minh: P=1
cho a,b, thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 1 chứng minh abc 2 1 a b c ab bc ac ≥0
a) cho a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện : ab+bc+ca=1 chứng minh rằng :
\(a^3+b^3+c^3\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)
b) cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện : a+b+c=3abc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}\)
giúp mik với .
Cho biểu thức: P=\(\dfrac{1}{3+2a+b+ab}\)+\(\dfrac{1}{3+2b+c+bc}\)+\(\dfrac{1}{3+2c+a+ca}\)
với a, b, c là các số thực làm cho P xác định và thỏa mãn điều kiện: a+b+c+bc+ca+ab+abc=0. CMR: P=1Lời giải:
\(a+b+c+ab+bc+ac+abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+ab+1)+c+bc+ac+abc=1\)
\(\Leftrightarrow (a+b+ab+1)+c(1+b+a+ab)=1\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)+c(a+1)(b+1)=1\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=1\)
Đặt \((a+1,b+1,c+1)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(x-1,y-1,z-1)\) và \(xyz=1\)
Khi đó:
\(P=\frac{1}{3+2(x-1)+y-1+(x-1)(y-1)}+\frac{1}{3+2(y-1)+z-1+(y-1)(z-1)}+\frac{1}{3+2(z-1)+x-1+(x-1)(z-1)}\)
\(=\frac{1}{x+xy+1}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{1}{z+xz+1}\)
\(=\frac{yz}{xyz+xy.yz+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{zy+xz.y+y}\)
\(=\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{yz+1+y}=\frac{yz+1+y}{yz+1+y}=1\)
Ta có đpcm.