Question

Cho biểu thức: P=\(\dfrac{1}{3+2a+b+ab}\)+\(\dfrac{1}{3+2b+c+bc}\)+\(\dfrac{1}{3+2c+a+ca}\)

với a, b, c là các số thực làm cho P xác định và thỏa mãn điều kiện: a+b+c+bc+ca+ab+abc=0. CMR: P=1

Answer 1

Lời giải:

\(a+b+c+ab+bc+ac+abc=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+ab+1)+c+bc+ac+abc=1\)

\(\Leftrightarrow (a+b+ab+1)+c(1+b+a+ab)=1\)

\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)+c(a+1)(b+1)=1\)

\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=1\)

Đặt \((a+1,b+1,c+1)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(x-1,y-1,z-1)\) và \(xyz=1\)

Khi đó:

\(P=\frac{1}{3+2(x-1)+y-1+(x-1)(y-1)}+\frac{1}{3+2(y-1)+z-1+(y-1)(z-1)}+\frac{1}{3+2(z-1)+x-1+(x-1)(z-1)}\)

\(=\frac{1}{x+xy+1}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{1}{z+xz+1}\)

\(=\frac{yz}{xyz+xy.yz+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{zy+xz.y+y}\)

\(=\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{yz+1+y}=\frac{yz+1+y}{yz+1+y}=1\)

Ta có đpcm.