Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+c+b+c}=\frac{4}{2c+a+b}\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\ge \frac{4ab}{2c+a+b}\)
Tương tự: \(\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}\geq \frac{4bc}{2a+b+c}\); \(\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c}\geq \frac{4ca}{2b+a+c}\)
Cộng 3 BĐT vừa thu được theo vế :
\(\Rightarrow \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c}\geq 4P\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b}\geq 4P\Leftrightarrow a+b+c\geq 4P\)
\(\Leftrightarrow 3\geq 4P\Leftrightarrow P\leq \frac{3}{4}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bài này sử dụng BĐT phụ là ra mà
