a: \(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

AH=15*20/25=12cm

BH=15^2/25=9cm

CH=25-9=16cm

b: Xet ΔABC vuông tại A và ΔDHC vuông tại D có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔDHC

c: \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{DHC}}=\left(\dfrac{BC}{HC}\right)^2=\left(\dfrac{25}{16}\right)^2\)

=>\(S_{DHC}=150:\dfrac{625}{256}=61.44\left(cm^2\right)\)

\(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{12}\)

⇒ AC = \(\dfrac{5}{12}\) .AB

= \(\dfrac{5}{12}.5\)

\(=\dfrac{25}{12}\) (cm)

∆ABC vuông tại A

⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)

\(=5^2+\left(\dfrac{25}{12}\right)^2\)

= \(\dfrac{4225}{144}\)

⇒ BC = \(\dfrac{65}{12}\) (cm)

AH.BC = AB.AC

⇒ AH = AB . AC : BC

= 5 . \(\dfrac{25}{12}:\dfrac{65}{12}\)

\(=\dfrac{25}{13}\left(cm\right)\)

M là trung điểm của AC

⇒ AM = AC : 2 = \(\dfrac{25}{12}:2\) \(=\dfrac{25}{24}\) (cm)

∆ABM vuông tại A

⇒ BM² = AB² + AM²

= \(5^2+\left(\dfrac{25}{24}\right)^2\)

= \(\dfrac{15025}{576}\)

⇒ BM = \(\dfrac{5\sqrt{601}}{24}\) (cm)

a: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(1\right)\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=15^2+20^2=625\)

=>\(BC=\sqrt{625}=25\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot25=15\cdot20=300\)

=>\(AH=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(3\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

c: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK=KC=KB

Ta có: KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\widehat{KAC}=\widehat{KCA}\)

Ta có: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)

Ta có: \(\widehat{KAC}+\widehat{ANM}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{KCA}=90^0\)

=>AK\(\perp\)MN tại I

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2;CH\cdot BC=CA^2\)

=>\(BH\cdot25=15^2=225;CH\cdot25=20^2=400\)

=>BH=225/25=9(cm); CH=400/25=16(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM\cdot15=12^2\)=144

=>AM=144/15=9,6(cm)

Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

mà AH=12cm

nênMN=12cm

Ta có: ΔANM vuông tại A

=>\(AN^2+AM^2=NM^2\)

=>\(AN^2+9,6^2=12^2\)

=>AN=7,2(cm)

Xét ΔIMA vuông tại I và ΔAMN vuông tại A có

\(\widehat{IMA}\) chung

Do đó: ΔIMA đồng dạng với ΔAMN

=>\(\dfrac{S_{IMA}}{S_{AMN}}=\left(\dfrac{AM}{MN}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\)

=>\(S_{IMA}=\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AM\cdot AN=22,1184\left(cm^2\right)\)

mình chịu thoiii

b: Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(HA\cdot HC=BH^2\left(1\right)\)

Xét ΔBHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(BE\cdot BC=BH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HA\cdot HC=BE\cdot BC\)

Lời giải:

Gọi $T$ là giao điểm $AK, DE$.
Xét tứ giác $ADHE$ có $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên $ADHE$ là hình chữ nhật.

$\widehat{ADT}=\widehat{ADE}=\widehat{AHE}=90^0-\widehat{EHC}=\widehat{C}(1)$

Mặt khác:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AK=\frac{BC}{2}=BK$

$\Rightarrow ABK$ là tam giác cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{TAD}=\widehat{KAB}=\widehat{KBA}=\widehat{B}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{ADT}+\widehat{TAD}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{DTA}=180^0-(\widehat{ADT}+\widehat{TAD})=180^0-90^0=90^0$

$\Rightarrow DE\perp AK$ (đpcm)

Hình vẽ: