Vì x, y, z, t thuộc N* nên :

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x}{x+y}\left(1\right)\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{z+y+t}< \frac{y}{x+y}\left(2\right)\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z}{z+t}\left(3\right)\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{x+y}\left(4\right)\)

Từ (1) (2) (3) và (4)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< M< \frac{x+y}{x+y}+\frac{z+t}{z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

\(\Rightarrow M\) không phải là số tự nhiên

Cái chỗ (4) là \(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{z+t}\)nha mình nhầm

ko biết

Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của I lay my love on you - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

có toán lớp 5 ko

\(Taco:\)

\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}\)

\(>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+t+z}+\frac{z}{y+z+t+x}+\frac{t}{x+z+t+y}=1\)

\(\Rightarrow M>1\)

\(Mà:\left(x,y,z,t\inℕ^∗\right)\Rightarrow\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< \)

\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+t}+\frac{t}{z+t}=2\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

Vậy M không là số tự nhiên (đpcm)

Tham khảo tại Câu hỏi của Châu Nghi Diệp Anh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}\ge\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)

\(\text{vì}x,y,z,t\inℕ^∗\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\\\frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t}\\\frac{z}{y+z+t}< \frac{x+z}{x+y+z+t}\end{cases}\text{và }}\frac{t}{x+z+t}< \frac{t+y}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow M< \frac{2.\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=1\left(\text{vì }x+y+z+t\ne0\right)\)

vì 1<M<2 => M ko phải là STN

ta có: \(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t};\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t};\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}.\)

\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow M>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=1\)(1)

Lại có: \(\frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t};\frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t};\frac{z}{y+z+t}< \frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}< \frac{t+y}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow M< \frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+z}{x+y+z+t}+\frac{z+x}{x+y+z+t}+\frac{t+y}{x+y+z+t}=2\)(2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow1< M< 2\Rightarrow M\notinℕ\)

TH1 : \(x+y+z+t=0\)

    => \(x+y=-\left(z+t\right)\)

         \(y+z=-\left(x+t\right)\)

         \(z+t=-\left(x+y\right)\)

        \(x+t=-\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{z+t}=\frac{y+z}{t+x}=\frac{z+t}{x+y}=\frac{t+x}{y+z}=-1\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=-4\)

TH2 : \(x+y+z+t\ne0\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

\(=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=3\)( do \(x+y+z+t\ne0\))

\(\Rightarrow x=3\left(y+z+t\right)\)

     \(y=3\left(z+t+x\right)\)

     \(z=3\left(t+x+y\right)\)

     \(t=3\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4x=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4y=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4z=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4t=3\left(x+y+z+t\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4x=4y=4z=4t\)

\(\Rightarrow\)\(x=y=z=t\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)\(=1+1+1+1\)\(=4\)

Vậy trong cả 2 trường hợp  P đều có giá trị nguyên

Bài trên đúng rồi đó các bạn cho bn ý

Mà đây là Toán 7 thì đúng hơn 

Ta có 

\(\frac{x+y}{x+y+z}>\frac{x+y}{x+y+z+t};\frac{y+z}{y+z+t}>\frac{y+z}{x+y+z+t};\frac{z+t}{z+t+x}>\frac{z+t}{x+y+z+t};\frac{t+x}{t+x+y}>\frac{t+x}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow LHS>2\) ( điều phải chứng minh )

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=4\\A=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy biểu thức A luôn có giá trị nguyên (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

\(VP=\frac{x}{y+z+t}+\frac{y}{z+t+x}+\frac{z}{t+x+y}+\frac{t}{x+y+z}+\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}=\left(\frac{x}{y+z+t}+\frac{y+z+t}{9x}\right)+\left(\frac{y}{z+t+x}+\frac{z+t+x}{9y}\right)+\left(\frac{z}{t+x+y}+\frac{t+x+y}{9z}\right)+\left(\frac{t}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{9t}\right)+\frac{8}{9}\left(\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}\right)\)\(\ge8\sqrt[8]{\frac{x}{y+z+t}.\frac{y}{z+t+x}.\frac{z}{t+x+y}.\frac{t}{x+y+z}.\frac{y+z+t}{9x}.\frac{z+t+x}{9y}.\frac{t+x+y}{9z}.\frac{x+y+z}{9t}}+\frac{8}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{t}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{y}+\frac{x}{y}+\frac{t}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{t}+\frac{y}{t}+\frac{z}{t}\right)\)\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12\sqrt[12]{\frac{y}{x}.\frac{z}{x}.\frac{t}{x}.\frac{z}{y}.\frac{t}{y}.\frac{x}{y}.\frac{t}{z}.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}.\frac{x}{t}.\frac{y}{t}.\frac{z}{t}}=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12=\frac{40}{3}=VT\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t > 0 

Vì \(x;y;z;t\in N\)^* nên ta có :

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t+y}{x+y+z+t}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

=> M có giá trị không phải là số tự nhiên

Với\(x,y,z,t\in\)N*,ta có :\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x}{x+y}\left(1\right)\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{x+y+t}< \frac{y}{x+y}\left(2\right);\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z}{z+t}\left(3\right)\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{z+t}\left(4\right)\)

Cộng (1),(2),(3),(4),vế theo vế,ta có :\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< M< \frac{x+y}{x+y}+\frac{z+t}{z+t}\)hay 1 < M < 2 

Vậy M không phải là số tự nhiên

Đinh Đức Hùng giải SAI nha 

như bạn Phan Thanh Tịnh mới đúng