a)Áp dụng bđt Cô-si:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-1+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}=\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab}+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab}.\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}}=2\)

=>\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1

b) bđt sai rồi

ta có \(a\ge b\ge c\)

zì \(c\le b\)nên \(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+2b\right)^2\)

do zậy ta chỉ cần chứng minh \(9ab\ge\left(a+2b\right)^2\)

tương đương zới \(a^2-5ab+4b^2\le0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)\le0\)

zì \(a\ge b\)zà theo bất đẳng thức tam giác có \(a< b+c\le2b\le4b\)nên điều trên luôn đúng

zậy bất đẳng thức đc CM . dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều

đặt biể thức cần chứng minh là P

\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)

\(t\)ương tự

\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c

\(\left(a+b+c\right)^2-9ab\le\left(a+b+c\right)^2-9a^2=\left(a+b+c-3a\right)\left(a+b+c+3a\right)=\left(b+c-2a\right)\left(4a+b+c\right)\)

Vì \(a\ge b\ge c\Leftrightarrow b+c-2a\le0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-9ab\le0\)=> dpcm

1) Ta có: \(x^4+y^4\ge2x^2y^2\)

\(x^4+y^4\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2\)

Tương tự: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^4\)

b) Câu hỏi tương tự

c) Đề sai

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

\(\frac{a}{4}+b\geq 2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)

\(\frac{a}{4}+c\geq 2\sqrt{\frac{ac}{4}}=\sqrt{ac}\)

\(\frac{a}{4}+d\geq 2\sqrt{\frac{ad}{4}}=\sqrt{ad}\)

\(\frac{a}{4}+e\geq 2\sqrt{\frac{ae}{4}}=\sqrt{ae}\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{ae}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{4}=b=c=d=e\)

a) Sai với \(a=1,b=2\)

b)

Thực hiện biến đổi tương đương:

\(\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)+a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{3b}-\frac{a}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+ab+b^2-3ab}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

c) BĐT sai với \(a=1,b=2\)

Ta có:

\(3a^3+7b^3\ge3a^3+6b^3\)

Dấu "=" xảy ra <=> b=0

Mặt khác :

\(3a^3+6b^3=3a^3+3b^3+3b^3\ge9ab^2\)(Theo bđt Cô-si)

=> đpcm 

 Mih ko chắc đug nhưg mà thấy avatar để hih chị hương là vào liền

Kb nha (Fan ECADCA)

oki bạn