a) Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{9-x}=b$ thì bài toán trở thành:

Tìm max, min của $f(a,b)=a+b$ với $a,b\geq 0$ và $a^2+b^2=10$Ta có:

$f^2(a,b)=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=10+2ab\geq 10$ do $ab\geq 0$

$\Rightarrow f(a,b)\geq \sqrt{10}$ hay $f_{\min}=\sqrt{10}$

Mặt khác: $f^2(a,b)=(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)=20$ (theo BĐT AM-GM)

$\Rightarrow f(a,b)\leq \sqrt{20}=2\sqrt{5}$ hay $f_{\max}=2\sqrt{5}$

b) 

Đặt $\sqrt{x}=a; \sqrt{2-x}=b$ thì bài toán trở thành:

Tìm max, min của $f(a,b)=a+b+ab$ với $a,b\geq 0$ và $a^2+b^2=2$. Ta có:

$f(a,b)=\sqrt{(a+b)^2}+ab=\sqrt{a^2+b^2+2ab}+ab=\sqrt{2+2ab}+ab\geq \sqrt{2}$ do $ab\geq 0$

Vậy $f_{\min}=\sqrt{2}$

Lại có, theo BĐT AM-GM:

$f(a,b)=\sqrt{2+2ab}+ab\leq \sqrt{2+a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{2}=\sqrt{2+2}+\frac{2}{2}=3$

Vậy $f_{\max}=3$

c) Đặt $\sqrt{8-x^2}=a$ thì bài toán trở thành tìm max, min của:

$f(x,a)=x+a+ax$ với $x,a\geq 0$ và $x^2+a^2=8$. Bài này chuyển về y hệt  như phần b. 

$f_{\min}=2\sqrt{2}$

$f_{\max}=8$

d) Tương tự:

$f_{\min}=2$ khi $x=\pm 2$

$f_{\max}=2+2\sqrt{2}$ khi $x=0$

Bài 1:

\(P=x\sqrt{3-x^2}=\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{3-x^2}\)

\(=\sqrt{x^2\left(3-x^2\right)}\)\(\le\frac{x^2+3-x^2}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu = khi \(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Vậy Max_P=\(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(a,\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x+1+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{x^2+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT cosi: \(\left(1\right)\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}}=2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

1:

a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

căn x+1>=1

=>2/căn x+1<=2

=>-2/căn x+1>=-2

=>A>=-2+1=-1

Dấu = xảy ra khi x=0

b: 

Mình tách thành hai phần nhìn cho dễ hiểu nhé !

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\\x\ne9\end{cases}}\)

+) \(\frac{x-3\sqrt{x}}{x-9}-1=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-1\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-1=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\)

+) \(\frac{9-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{9-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{9-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{9-x+x-9-x+4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{4-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

=> \(\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\div\frac{4-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\times\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{4-x}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{x-4}=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)

a/ Căn xác định với \(2\le x< 3\) ta có \(\frac{\left(x-2\right)^2}{3-x}+\frac{x^2+1}{x-3}=0\)

<=> \(\frac{\left(x-2\right)^2}{3-x}-\frac{x^2+1}{3-x}=0\)<=> \(^{x^2-4x+4-x^2-1=0}\)<=> x = 3/4 ( Không TM ) Vậy PTVN 

Bài 2:

*)GTNN: Áp dụng BĐT \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) ta có:

\(A=\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}\)

\(\ge\sqrt{x+3+5-x}=\sqrt{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(-3\le x\le5\)

*)GTLN:Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(A^2=\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(x+3+5-x\right)\)

\(=2\cdot8=16\)

\(\Rightarrow A^2\le16\Rightarrow A\le4\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=1\)