Phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x_{2 ⇔ Δ ' = ( m + 1 ) 2 − m 2 ≥ 0 ⇔ 2 m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ − 1 2}  

Theo định lý Viét ta có x 1 + x 2 = 2 m + 2 x 1 x 2 = m 2  

Có  ( 2 ) ⇔ x 1 2 − 2 x 1 m + m 2 + x 2 = m + 2 ⇔ x 1 ( x 1 − 2 m ) + m 2 + x 2 = m + 2  

Thay x 1 − 2 m = 2 − x 2 ; m 2 = x 1 x 2  vào ta có x 1 ( 2 − x 2 ) + x 1 x 2 + x 2 = m + 2 ⇔ 2 x 1 + x 2 = m + 2  

Ta có hệ x 1 + x 2 = 2 m + 2 2 x 1 + x 2 = m + 2 ⇔ x 1 = − m x 2 = 3 m + 2 ⇒ m 2 = x 1 x 2 = − m ( 3 m + 2 ) ⇒ 4 m 2 + 2 m = 0 ⇔ m = 0 m = − 1 2  (thỏa mãn)

+ Với m = 0:  ( 1 ) ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x 1 = 0 x 2 = 2  (thỏa mãn đề bài)

+ Với m = − 1 2 : ( 1 ) ⇔ x 2 − x + 1 4 = 0 ⇔ x 1 = x 2 = 1 2  (thỏa mãn đề bài)

Vậy m = 0 hoặc m = -1/2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

1.Ta có \(\Delta=4m^2-4\left(m^2-m-3\right)=4m+12\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\Delta>0\Rightarrow4m+12>0\Rightarrow m>-3\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m-3\end{cases}}\)

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Rightarrow x_1.x_2< 0\Rightarrow m^2-m-3< 0\Rightarrow\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m>0\\x_1.x_2=m^2-m-3>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\left(l\right);\hept{\begin{cases}m>0\\m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}}}}\)

Vậy \(m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

2. a.Ta có \(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1\)

Ta thấy \(\Delta=4m^2+1>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiejm phân biệt với mọi m

b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Để \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x2\right)^2-4x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2-4.\left(-m\right)=1\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4m=1\)

\(\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\)thoă mãn yêu cầu bài toán 

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-2\right)=9>0;\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-2x_1\right)=9\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-4x_1x_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-6\left(m^2+m-4\right)=9\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2m-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)

a: \(\Delta=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2-2m-3\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m^2+8m+12\)

=16m+16

Để phương trình luôn có nghiệm thì 16m+16>=0

hay m>=-1

b: Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-x_1x_2=28\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-3\left(m^2-2m-3\right)=28\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-3m^2+6m+9=28\)

\(\Leftrightarrow m^2+14m-15=0\)

=>(m+15)(m-1)=0

=>m=1

Bảng biến thiên

Vậy m= -2 là giá trị cần tìm

Chọn B.

Đáp án A

a) Thay m=0 vào phương trình (1), ta được:

\(x^2-2\cdot\left(0-1\right)x+0^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=0 thì S={0;-2}