a) xa =-1 =>ya =1/2.(-1)^2 =1/2=> A(-1;1/2)

xb=2 =>yb =1/2.2^2 =2=> B(2;2)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}=-m+n\\2=2m+n\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m+2n=1\\2m+n=2\end{matrix}\right.\)=> n=1; m =1/2

b) \(AB=\sqrt{\left(x_b-x_a\right)^2+\left(y_b-y_a\right)^2}=\sqrt{3^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3^2\left(4^2+1\right)}{4^2}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{4}\)\(S\Delta_{AOB}=\dfrac{1}{2}\left(\left|x_a\right|+\left|x_b\right|\right)\left(y_b-y_a\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+2\right).\left(2-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}.3.\dfrac{3}{2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\)\(S_{\Delta AOC}=\dfrac{1}{2}OH.AB\)

\(OH=2.\dfrac{\dfrac{9}{4}}{\dfrac{3\sqrt{17}}{4}}=\dfrac{6}{\sqrt{17}}=\dfrac{6\sqrt{17}}{17}\)

1) gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b(d1)

vì đt d1 vuông góc vs đt y=2x-1 nên:

a.2=-1 <=> a= \(\dfrac{-1}{2}\)

vì đt d1 đi qua điểm M (-1;1) nên ta có pt:

1=\(\dfrac{-1}{2}\) .(-1)+b <=> b=\(\dfrac{1}{2}\)

Vậy h/s cần tìm là y=\(\dfrac{-1}{2}\) x+\(\dfrac{1}{2}\)

2) gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b(d)

vì đt d // đt y=3x+1 nên:

a=3

vì đt d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 nên : b=4

vậy h/s cần tìm là y=3x+4

3) đk :m\(\ne\)2

vì đt y=2x-1 cắt tại tung độ tại điểm có tung độ bằng -x nên ta có pt :

-x=2x-1 <=> x=\(\dfrac{1}{3}\)

Ta có đt y=mx+1 cắt tại tung độ tại điểm có tung độ bằng -x nên ta có pt :

-\(\dfrac{1}{3}\) =m.\(\dfrac{1}{3}\) +1 <=> m=-4 (tmđk )

Vậy để y=mx+1 va y=2x-1 cắt nhau tại điểm thuộc y=-x thì m= -4

a) Để \(\left(d\right)\left|\right|Ox\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\3m-4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{4}{3}\)

b) Để \(\left(d\right)\left|\right|Oy\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1=0\\3m-4\ne0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=1\)

c) Để \(O\in\left(d\right)\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\3m-4\ne0\\-2m-5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne\dfrac{4}{3}\\m=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{5}{2}\)

d) Để \(A_{\left(2;-1\right)}\in\left(d\right)\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\\\left(m-1\right)x+\left(3m-4\right)y=-2m-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-1\right)-\left(3m-4\right)=-2m-5\\ \Leftrightarrow2m-2-3m+4=-2m-5\\ \Leftrightarrow-m+2=-2m-5\\ \Leftrightarrow m=-7\)

mf (a) đi wa O(0;0;0) có VTPT :n_a=u_d =(1,2,3) →pt :x+2y+3z=0

M ϵ d → M( t; -1+2t; -2+3t)      d(M; (p))=2= \(\frac{5-t}{\sqrt{5}}\)   tìm đk : t=5+2\(\sqrt{5}\)  và t=5-2\(\sqrt{5}\)    →tìm đk 2 tọa độ M

đường thẳng y=(m-2)x+m (m khác 2) cắt đường thẳng y=2x-1

\(\Leftrightarrow m-2\ne2\Leftrightarrow m\ne4\)(thỏa mãn điều kiện của m)

đường thẳng (d) cắt đường thẳng y=2x-1 tạo điểm có hoành độ bằng 1

\(\Rightarrow x=1;y=0\) Thay vào hàm số y=(m-2)x+m, ta được:

\(0=\left(m-2\right)\cdot1+m\)

\(\Leftrightarrow m-2+m=0\)

\(\Leftrightarrow2m=2\Leftrightarrow m=1\)(thỏa mãn điều kiện của m)

vậy m=1 thì đồ thị hàm số y=(m-2)x+m cắt đường thẳng y=2x-1 tại điểm có hoành độ bằng 1

đường thẳng y=(m-2)x+m (m khác 2) cắt đường thẳng y=2x-1

⇔m−2≠2⇔m≠4(thỏa mãn điều kiện của m)

đường thẳng (d) cắt đường thẳng y=2x-1 tạo điểm có hoành độ bằng 1

⇒x=1;y=0 Thay vào hàm số y=(m-2)x+m, ta được:

0=(m−2)⋅1+m

⇔m−2+m=0

⇔2m=2⇔m=1(thỏa mãn điều kiện của m)

vậy m=1 thì đồ thị hàm số y=(m-2)x+m cắt đường thẳng y=2x-1 tại điểm có hoành độ bằng 1