- Theo giả thiết  $a,b>0$  nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được

                a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2a4+b2≥2a2b⇒a4+2ab2+b2≥2a2b+2ab2

                                                 \Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)⇒a4+2ab2+b2≥2ab(a+b)

                                                 \Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}⇒a4+2ab2+b21​≤2ab(a+b)1​,  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$)

- Tương tự                                   \frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}a2+2a2b+b41​≤2ab(a+b)1​    ,    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $a=b$)

- Từ đó      Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}Q≤ab(a+b)1​

- Giả thiết  \left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2(a+b)(a+b−1)=a2+b2 tương đương với a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}a+b=2ab⇔ab=2a+b​(*)

- Do đó      Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}Q≤(a+b)22​

  - Mà      ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}ab≤4(a+b)2​    nên   \frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge22a+b​≤4(a+b)2​⇒a+b≥2  (do giả thiết  $a,b>0$ ).

- Vì vậy   Q\le\frac{2}{2^2}Q≤222​ 

GTNN  là  \frac{1}{2}21​ đạt khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.{a=ba+b=2​$\iff a=b=1$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)

\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)

\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)

Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

- Theo giả thiết  a,b>0a,b>0  nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được

                a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2a4+b2≥2a2b⇒a4+2ab2+b2≥2a2b+2ab2

                                                 \Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)⇒a4+2ab2+b2≥2ab(a+b)

                                                 \Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}⇒a4+2ab2+b21​≤2ab(a+b)1​,  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=ba=b)

- Tương tự                                   \frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}a2+2a2b+b41​≤2ab(a+b)1​    ,    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a=ba=b)

- Từ đó      Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}Q≤ab(a+b)1​

- Giả thiết  \left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2(a+b)(a+b−1)=a2+b2 tương đương với a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}a+b=2ab⇔ab=2a+b​(*)

- Do đó      Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}Q≤(a+b)22​

  - Mà      ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}ab≤4(a+b)2​    nên   \frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge22a+b​≤4(a+b)2​⇒a+b≥2  (do giả thiết  a,b>0a,b>0 ).

- Vì vậy   Q\le\frac{2}{2^2}Q≤222​ 

GTNN  là  \frac{1}{2}21​ đạt khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.{a=ba+b=2​\Leftrightarrow a=b=1⇔a=b=1

Cô/thầy là quản lý phải không ạ?

Cho con hỏi 1 chút ạ, mình được bao nhiêu điểm hỏi đáp thì mới được có thưởng ạ?

Con cảm ơn cô/thầy

Ta có: \(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{a+b+a+c}{2}\)

C/m tương tự \(\sqrt{2b+ac}\le\frac{b+a+b+c}{2}\)

                      \(\sqrt{2c+ab}\le\frac{c+a+c+b}{2}\)

\(\Rightarrow Q\le\frac{a+b+a+c+b+a+b+c+c+a+c+b}{2}=\frac{4\left(a+b+c\right)}{2}=4\)

Dấu "=" khi a = b = c = ²/₃

Ớ =( trả lời nhầm nick rồi =(

Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng:

Ta thấy trong ba số thực dương luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng hoặc nhỏ hơn hay bằng . Giả sử đó là và .

Khi đó ta có: suy ra

Do đó,

Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh:

(đúng)

Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .

 minh moi hoc lop 5

ko bit đừng trả lời bừa nha mấy thánh ~~

chơi gunny đê mọi người ơi

Theo đề ra, ta có:

\(a^2+b^2+c^2\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

Theo BĐT Cô-si:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)

Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)

Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)

Khi đấy:

\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)

\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).

\(\sqrt{c+ab}\) =\(\sqrt{c\left(a+b+c\right)+ab}=\sqrt{c^2+ac+cb+ab}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)

ttu \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right);\frac{ac}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{bc+ac}{2\left(a+b\right)}+\frac{ac+ab}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc+ab}{2\left(c+b\right)}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)

dau = xay ra khi a=b=c=1/3

trả lời 

=1/2

chúc bn

học tốt

Trả lời

Đáp số là 1/2

~ Học tốt ~

a.

Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

b.

\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

c.

\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)

d.

\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)