Question

cho hai số dương a,b thỏa mãn a+b=2.chứng minh rằng:

a \(a^2+b^2\) lớn hơn bằng 2

b \(a^4+b^4\) lớn hơn bằng 2

c \(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\) bé hơn bằng 2

d \(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\) lớn hơn bằng 17

Answer 1

a.

Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

b.

\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

c.

\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)

d.

\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)