Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT trên ta có :

\(\frac{1}{3}VP\le\frac{1}{9}.3\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)=\frac{1}{3}VT\)

Xảy ra khi \(x=y=z\)

Chúc bạn học tốt !!!

ta có bdt (\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))(a+b+c)\(\ge\)9 (dễ dàng chứng minh) => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Áp dụng bdt trên ta được

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{9}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge\frac{9}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}}\)

Cộng vế theo vế ta đươc đt cần chứng minh

Dấu bằng khi x=y=z

có biết huệ ko

Bạn vt đề bài rõ ra nhé, mk RG trc rùi phần câu hỏi xem sau( P là j z?)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}-2\)

\(=x-\sqrt{x}-3\)

a/ Nhân cả tử và mẫu của từng phân số với liên hợp của nó và rút gọn:

\(VT=\sqrt{a+3}-\sqrt{a+2}+\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}+\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\)

\(=\sqrt{a+3}-\sqrt{a}=\frac{3}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\)

b/ \(VT=\frac{x}{x\left(x+y+z\right)+yz}+\frac{y}{y\left(x+y+z\right)+zx}+\frac{z}{z\left(x+y+z\right)+xy}\)

\(=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) (1)

Mặt khác ta có: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

Thật vậy, \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\)

Mà \(xyz\le\frac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\) (theo AM-GM)

\(\Rightarrow\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) (đpcm)

Thay vào (1) \(\Rightarrow VT\le\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

TA THẤY\(X+\sqrt{X}\)>=0VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

=> \(X+\sqrt{X}+1\) >=1 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)<=2 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

HAY A<=2 (1)

\(X+\sqrt{X}+1\)>0 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1 VÀ  2>0

=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)>0

HAY A<0(2)

TỪ (1) VÀ (2) => 0<A<=2

TA THẤY\(X+\sqrt{X}\)>=0VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

=> \(X+\sqrt{X}+1\) >=1 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)<=2 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

HAY A<=2 (1)

\(X+\sqrt{X}+1\)>0 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1 VÀ  2>0

=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)>0

HAY A<0(2)

TỪ (1) VÀ (2) => 0<A<=2

TA THẤYX+√X>=0VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

=> X+√X+1 >=1 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

=> 2X+√X+1 <=2 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1

HAY A<=2 (1)

X+√X+1>0 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1 VÀ  2>0

=> 2X+√X+1 >0

HAY A<0(2)

TỪ (1) VÀ (2) => 0<A<=

BĐT <=> \(3\left(1-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)\ge1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\)

<=> \(3-3\sqrt[3]{x}+3\sqrt[3]{x^2}\ge1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\)

<=> \(3-3\sqrt[3]{x}+3\sqrt[3]{x^2}-1-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}\ge0\)

<=> \(2\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+2\ge0\)

<=> \(2\left(\sqrt[3]{x^2}-1\right)^2\ge0\) luôn đúng với mọi x => đpcm

????